Інтегрування диференціальних рівнянь руху точки

Розглянемо рішення другої задачі динаміки в декартовій системі координат. Оскільки в загальному випадку сила може залежати від часу, від координат точки та від швидкості, то диференціальні рівняння руху мають вигляд:

 

 

Визначення закону руху в цьому випадку зводиться до інтегрування системи трьох диференціальних рівнянь другого порядку, в яких невідомими функціями с координати x, y, z точки, що рухається; а аргументом – час t.

При інтегруванні кожного рівняння системи (2.13) з'являються дві сталі інтегрування, а для випадку трьох основних диференціальних рівнянь маємо шість сталих С₁, С₂, С₃, С₄, С₅, С₆.

Кожна з координат x, y, z точки, що рухається, після інтегрування системи, залежить від часу t та всіх шести постійних інтегрування:

 

;

;

.

 

Якщо сталим інтегрування надати різні числові значення, то можна отримати сукупність різних значень х, у, z.

Таким чином, надані сили не визначають конкретного руху точки, а виділяють цілий клас рухів, що характеризуються шістьма довільними сталими. Для того, щоб отримати рішення конкретної задачі, необхідно задати ще додаткові умови, що характеризують дану задачу. В якості таких умов задають звичайно початкові умови руху.

Вивчення будь-якого руху починаєтся з деякого визначеного моменту часу, що називається початковим моментом часу. Від цього моменту ми будемо відраховувати час руху, вважаючи, що в початковий момент t = 0. Початковий стан точки будемо визначати її радіус-вектором , та швидкістю при t = 0.

В декартових координатах необхідно задавати відповідні проекції при t = 0:

 

x=x₀ ; y=y₀; z=z₀;

.

Ці відношення називаються початковими умовами руху.

З цих рівнянь визначають сталі інтегрування в залежності від початкових координат точки та проекцій початкової швидкості. Якщо підставити отримані значення сталих інтегрування, то отримаємо частинні рішення рівнянь руху:

 

,

,

.

 

У випадку руху точки в площині, наприклад ХОY, маємо два диференціальних рівняння руху. Рішення цих рівнянь містить вже чотири сталих інтегрування, котрі визначаються з початкових умов: приt = 0,

 

x=x₀ ; y=y₀;

Якщо точка виконує прямолінійний рух, наприклад, в напрямку осі Ох, то маємо тільки одне диференціальне рівняння, в рішення якого входять тільки дві сталі інтегрування. Для їх визначення необхідно задати такі початкові умови.

При t = 0; x=x₀ ;.

Необхідно зауважити, що введення початкової швидкості точки враховує вплив на її рух тих сил, які діяли на точку до початкового моменту часу.