Математическая логика

 

Математическая логика — это вторая ступень выводного знания, как бы алгебра формальной логики. Она изучает действия тех же в основном законов мышления, что и традиционная логика, исследует операции с теми же формами мысли и рассуждения, но идет дальше по пути абстрагирования. Математическая логика применяет математические методы и специальный аппарат символов и исследует мышление с помощью исчислений (формализованных языков). А это открывает дорогу к познанию новых закономерностей мышления, с которыми приходится сталкиваться при решении сложных логических конструкций в математике, кибернетике, в теории релейно-контактных схем, при проектировании и в работе ЭВМ, разного рода автоматов и управляющих устройств, теории программирования.

В опубликованной в 1973 году статье «Предмет и метод современной логики» выдающийся советский логик А. А. Марков называет современную логику «точной наукой, применяющей математические методы». Она стала, продолжает автор, «по словам П.С. Порецкого, математической логикой — логикой по предмету, математикой по методу. В этом качестве логика стала пригодной для правильной постановки и решения логических проблем математики, в особенности проблем, связанных с доказуемостью и недоказуемостью тех или иных положений математических теорий» [Большая советская энциклопедия, т.15. –М. 1973г.].

Математическая логика, так же как и традиционная логика, формальна в том смысле, что она абстрагируется от содержательного значения предложений и судит о взаимосвязи, отношениях и переходах из одного предложения (высказывания) к другому и о получающемся в итоге выводе из этих предложений не на основании содержания их, а только на основании формы последовательности предложений.

Мысль о математизации логических операций возникла много столетий тому назад. Еще на рубеже XIII—XIV вв. испанский философ Раймунд Луллий (1235—1315) сконструировал специальную «логическую машину», состоявшую из семи концентрических кругов, на которых были обозначены термины, буквы и т. п. Вращая эти круги, ученый получал разнообразные комбинации слов и понятий. «Машина» Луллия, конечно, была крайне несовершенна, но сыграла свою положительную роль в последующей научной разработке идеи машинизации процесса логических выводов.

Луллий Раймунд (ок. 1235 — ок. 1315) — испанский философ-идеалист и логик, богослов, писатель. В тридцать лет оп решил стать миссионером, отказавшись от благ придворной жизни. Логику Луллий именовал «великим искусством» («ars magna») распознавать при помощи разума истину и ложь и отделять их друг от друга. Он пытался найти такие механические способы комбинирования понятий, которые бы облегчили выведение истинных заключений из данных посылок. И Луллий построил «логическую машину», состоящую из семи вращающихся вокруг одного центра кругов. На каждом из этих кругов были написаны слова, обозначающие понятия (напр., человек, знание, истина, слава, благое, количество и т. п.) и логические отношения (напр., различие, согласие, противоречие, равенство ит. п.). Вращая эти концентрические круги, можно получать всевозможные сочетания понятий. Это были силлогистического (см. Силлогизм) типа выводы из заданных посылок.

При жизни Луллия его идея была встречена с недоверием. Но уже в XVII в. луллевское предложение о машинизации умозаключения, умственных процессов оказало большое влияние на основоположника математической логики немецкого философа г. Лейбница (1646—1716). В XIX в. идею логической машины пытался осуществить английский логик У. Джевонс (1835—1882).

Луллию приписывают около 300 сочинений, часть из которых посвящена проблемам логики. Он исследовал силлогизм, индукцию, правила следования, логические связки «и» и «или».

В середине XVI в. математик Клавдий нашел одну из основных формул современного двузначного исчисления высказываний:

|- [(⌐p⊃p) ⊃p], (2.1)

фактически основанную на открытом Аристотелем законе исключенного третьего, согласно которому из ложности данного суждения вытекает истинность противоречащего суждения. Формула Клавдия как раз и выражала следующее: если из того, что предложение ⌐ р ложно (знак ⌐ выражает отрицание) следует (знак ⊃ выражает следование), что р истинно, то отсюда следует, что р истинно.

О широком применении методов математики в логических операциях мечтал английский философ-материалист Гоббс (1588—1679). Эмпирические знания, полученные в чувственном опыте, в ощущениях, он предлагал подвергать рационалистической обработке с помощью рассуждений. При этом сам процесс рассуждения он понимал как сложение и вычитание понятий и суждений, наподобие арифметического сложения и вычитания, а умозаключение — как вычисление. Но эти положения Т. Гоббс не развернул в виде какой-то конкретной логической системы, в которой нашли бы практическое применение методы математического исчисления.

Гоббс (Hobbes) Томас (1588—1679) «. английский философ-материалист, один из основоположников новой формы материализма — механистического материализма. В его философии, пишут Маркс и Энгельс в «Святом семействе», «чувственность теряет свои яркие краски и превращается в абстрактную чувственность геометра. Физическое движение приносится в жертву механическому или математическому движению; геометрия провозглашаемся главной наукой» [532, стр. 143].

В логике Гоббс был приверженцем номиналистического учения древнегреческих стоиков (IV—И вв. до н. э.). Мышление, говорил он, - связывание и разъединение имен. Складывать и вычитать можно не только величины и тела, но и понятия (имена), отношения, предложения и слова. Сложение двух имен (понятий) дает, по Гоббсу, суждение, сложение двух суждений — силлогизм, а сложение нескольких силлогизмов образует доказательство.

Логика определялась Гоббсом как наука о путях и методах отличения лжи от истины. Поскольку мышление — это соединение и разделение имен (знаков), центральное место в логике он отводил теории знаков. Имена Гоббс делил на положительные и отрицательные, на единичные и общие, простые и сложные, на одно- смысленные и многосмысленные, первичные и вторичные. Определить понятие, по его мнению, - это зафиксировать значение имени и отграничить его от всех других значений; определение «— это суждение, предикат которого расчленяет субъект, когда это возможно, и разъясняет его, когда это невозможно.

Суждение Гоббс определял как словесное выражение из двух имен, соединенных связкой. Суждения он делил на положительные и отрицательные, общие, частные и неопределенные, на необходимые и случайные, категорические и условные. Особое внимание в процессе мышления Гоббс уделял условным суждениям. Он полагал, что надежнее умозаключать при помощи условных суждений, чем посредством категорических.

В основу теории умозаключения Гоббс положил учение о силлогизме. Он принимал только три фигуры категорического силлогизма. Доказательством Гоббс называл ряд силлогизмов, которые построены на определении понятий (имен) и доведены до последнего заключения (вывода).

Французский философ Рене Декарт (1596—1650), отмечая несомненное значение формальной логики, особенно теории дедукции, правильно заметил, что формальная логика не может быть единственным методом исследования явлений, как это полагали схоласты. Он писал: «в логике ее силлогизмы и большая часть других ее наставлений скорее помогают объяснить другим то, что нам известно...». Идеалом для всех наук, по его мнению, является математика. Исходя из этого, он разработал план общего логико-математического метода изучения всех вопросов естествознания. Заслуга Декарта в подготовке математизации логики состоит в том, что он впервые в науке ввел понятие переменной величины и функции, без чего немыслима ни современная математика, ни математическая логика.

По пути дальнейшей математизации логики пошел и немецкий философ и математик Г. В. Лейбниц (1646— 1716)» В своей ранней работе «De arte combinatoria» («Искусство комбинаторики»), вышедшей в свет в 1666 г., он пытался использовать символы для обозначения понятий и для записи хода логических действий. Одним из первых Г.В. Лейбниц высказал мысль о введении в логику математической символики. Он мечтал о том, чтобы создать такую логику, в которой правила логического вывода были бы заменены вычислительными правилами при помощи знаков. В его трудах и были представлены первые наброски построения логических исчислений. Будущую науку об исчислении умозаключений Г.В. Лейбниц назвал «calculus ratiocinator» или «Logica Mathematica».

Таким образом, Г.В.Лейбниц является творцом первых логических исчислений. Г.В.Лейбниц был убеждён, что наступит такое время, когда люди не будут тратить драгоценные часы и минуты на споры, а возьмут бумагу и карандаш и с помощью вычислений быстро найдут истинное решение. Этой идее он подчинил и все конкретные проблемы логики. Так, определения понятий он думал выводить подобно математику посредством алгебраических формул. Сами понятия он пытался рассматривать как мысли, связанные друг с другом математически: сложное понятие разлагается на составные множители; в основе всех научных понятий лежит небольшое число исходных понятий, оперируя которыми можно получать новые, сложные понятия.

Но, как и Т. Гоббс, Г.В. Лейбниц не создал законченной формализованной системы. Его идеи о том, чтобы простые мысли представить в виде символов, из которых по законам исчисления можно было бы получать все понятия, о том, чтобы вычисления использовать в любых рассуждениях,— не были собраны воедино, а были вкраплены в переписку с различными лицами. Этим объясняется, что они не были замечены не только при жизни Г.В. Лейбница, но и в последующем XVIII в.

Новые попытки использования символики для записи логических операций с большей силой возобновились в XIX в. В 1847 г. английский математик и логик Дж. Буль (1815—1864) опубликовал работу «The Mathematical Analysis of Logic» («Математический анализ логики»), а в 1854 г.— «Ап Investigation of the Laws of Thought...»(«Исследование законов мышления»), в которых излагались основы алгебры логики. Булева алгебра логики в виде исчисления классов явилась первой системой математической логики. Подметив некоторую аналогию в логических и математических операциях, Буль применил алгебраическую символику к логическим выводам. Булева алгебра логики в виде исчисления классов явилась первой систематической логикой.

С помощью алгебраической символики Дж. Буль думал свести все операции с логическими умозаключениями к чисто формальным преобразованиям по законам двузначной (1 и 0) алгебры. В булевых функциях аргументы имели два значения — «истинно» и «ложно». Любая истина высказываний, согласно алгебре логики, может быть представлена в виде уравнений с символами (x,y,z,…)» которые подчиняются логическим законам, подобным законам алгебры, имеющей дело с двумя знаками. Особенностью булевой логики являлось то, что ее операции не распространялись на бесконечные процессы.

Таким образом, основе метода Дж. Буля лежит гипотеза о тесной связи между алгеброй и логикой, связи, в силу которой при известных условиях формулы и приемы алгебры могут быть переносимы в логику и обратно

Новый шаг, сделанный Дж. Булем, в развитии логики состоял в том, что:

1) теперь не ограничиваются применением символики в логике, а строят специальные логические исчисления;

2) логические законы выступают в алгебре логики как необходимый момент формализованных систем;

3) всякое суждение рассматривается как утверждение о равенстве классов;

4) процесс умозаключения сводится к решению логических равенств.

Сыграв значительную роль в подготовке современной математической логики, булева алгебра нуждалась в усовершенствовании. Так, уже У.С. Джевонс отмечал, что операция вычитания в этой алгебре логики несла ряд неудобств и приводила при неосторожном обращении к отдельным недоразумениям. Вообще Дж. Буль совершал иногда недостаточно обоснованную экстраполяцию приёмов алгебры в область логики.

В том же 1847 году, в котором вышел в свет трактат Дж. Буля «Математический анализ логики...», шотландский математик и логик О. Морган (1806—1871) опубликовал сочинение «Формальная логика или исчисление умозаключений, необходимых и вероятностных» (Formal Logic, or the Calculus of Inference, Necessary and Probable), в котором содержались идеи, развивавшие дальше новое логическое учение. Он сформулировал основные принципы логика высказывании и логики классов, а также логики отношений (связка в суждении, по Моргану, выражает любые виды отношений). В математической логике известны законы Моргана:

1) отрицание конъюнкции высказываний равнозначно дизъюнкции отрицаний этих высказываний, что выражается формулой:

А В ≡ A , (2.2)

где знак /\ обозначает союз «и», знак V — союз «или», черта сверху буквы — отрицание ее, знак ≡ — равнозначность.

2) отрицание дизъюнкции высказываний равнозначно конъюнкции отрицаний этих выск азываний, что выражается формулой:

А v В ≡ ⌐А /\ ⌐В. (2.3)

Дизъюнкция (лат. disjunctio — разобщение, разделение, различие) — операция математической логики, выражающаяся в соединении двух или более высказываний (см.) при помощи логического союза «или» в новое, сложное суждение (напр., «Меткий стрелок обладает острым зрением или твердой рукой»; «Эта электричка пойдет в Загорск или отправится на запасной путь»). В обыденной речи операции дизъюнкции соответствует соединение двух или более предложений (суждений) с помощью союза «или». Различие со-стоит в том, что союз «или» в дизъюнкции не предполагает связи между высказываниями по смыслу, как это имеет место в обычной речи, а только по их истинности или ложности.

Для того, чтобы лучше понять сущность дизъюнкции, надо уяснить различный смысл слова «или», который может вкладываться в него в тех или иных высказываниях. '

Иногда слово «или» выступает в не исключающем значении («или А, или В или то и другое вместе»), когда в сложном высказывании, состоящем из двух или нескольких высказываний, истинность одного высказывания не исключает истинности другого. Это мы видим, напр., в высказывании: «Отличники нашего класса добиваются лучших показателей в учебе или прилежанием, или систематическим повторением пройденного, или добросовестным отношением к выполнению домашних заданий». В этом высказывании любой из членов дизъюнкции не исключает остальные члены, а все остальные члены не исключают любой другой из членов дизъюнкции. В самом деле, отличных показателей в учебе можно добиваться одновременно и прилежанием, и систематическим повторением пройденного. Такая дизъюнкция называется соединительно-разделительной. Она истинна, если оба или по крайней мере хотя один из ее членов являются истинными высказываниями, в противном же случае она ложна. Символически соединительно-разделительная дизъюнкция записывается так:

А В,

где А и В означают высказывания, а знак — союз «или» (от лат. vel, что значит «или»). Читается так «А или В»; «Имеет место А или имеет место В». Высказывания А или В, образующие дизъюнкцию, называются членами дизъюнкции. Члены дизъюнкции иногда называют слагаемыми.

В символической записи, принятой в системе Я. Лукасевича, операция дизъюнкции высказываний р и q представляется следующим образом:

Apq.

Как нетрудно заметить, истинность сложного высказывания, полученного в результате дизъюнкции, является функцией от истинностных значений исходных высказываний, входящих в это сложное высказывание. Поэтому дизъюнкцию можно трактовать как функцию, определенную на области, состоящей из двух объектов — «истина» и «ложь», и принимающую значения из той же области. Истинность сложного соединительно-разделительного дизъюнктивного высказывания как функции от истинностных значений исходных высказываний, входящих в сложное высказывание, задается следующей таблицей: где «и» означает истинность высказывания, а «л» — ложность высказывания. Высказывание «А В» ложно, следовательно, в одном единственном случае: когда оба составляющие его высказывания А и В ложны; оно истинно в остальных трех случаях: 1) когда А и В истинны; 2) когда А истинно, а В ложно; 3) когда А ложно, а В истинно. Если это записать символически, то оно будет выглядеть так: А В = 1 (истина), если А и В одновременно не равны 0 (ложь).

А В = 0 (ложь), если А = В = 0.

Если истинное высказывание обозначить цифрой 7, а ложное высказывание выразить через 0, то таблица истинностного значения дизъюнкции будет выглядеть так:

Иногда в логике классов операцию их объединения называют также дизъюнкцией. Если сравнить дизъюнкцию (логическую сумму, объединение классов, соответствующих универсальному (1) и нулевому (0)) и арифметическую сумму, то не представит трудности увидеть, что результат соединения двух аргументов в дизъюнкции с помощью союза «или», употребленного в соединительно-разделительном смысле, сходен в тех случаях, когда складываются аргументы 1 и 0, 0 и 1 и 0 и 0, но не сходен тогда, когда складываются 1 и 1. Если в арифметической сумме 1 и 1 дают 2, то в логическом сложении 1 и 1 равносильно 1.

В теории множеств операции дизъюнкции соответствует операция объединения множеств, которая обозначается символом U- В диаграммах Венна эта операция изображается следующим образом: где прямоугольник — это универсальное множество, а А и В подмножества этого множества.

Но слово «или» может выступать и в исключающем значении («или А, или В, но не то и другое вместе»), когда в сложном высказывании, состоящем из двух или нескольких высказываний, выражается только то, что одно из этих высказываний истинно, а остальные ложны. Это мы видим, напр., в высказывании «Данное общество классовое или неклассовое». В этом высказывании один член дизъюнкции («данное общество классовое») исключает другой член дизъюнкции («данное общество неклассовое»). Если истинно одно, то ложно другое; если ложно одно, то истинно другое [12].

Конъюнкция, или логическое умножение (лат. conjunctio — союз, связь) — операция математической логики, соединяющая два или более высказываний (см.) при помощи союза, сходного с союзом «и» (напр., «2 есть целое положительное число и 2< < 3») в новое, сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда каждое из исходных высказываний истинно, и ложно, когда по крайней мере одно из исходных высказываний ложно. Напр., донесение геолога-разведчика, представляющее собой конъюнкцию (соединение) ряда суждений, описывающих какую-либо находку в земле, признается истинным лишь в том случае, когда каждое из высказанных им суждений является истинным. Если хоть одно из суждений оказывается ложным, то донесение в целом ставится под сомнение.

Символически конъюнкция записывается следующим образом:

А В,

где А и В обозначают высказывания, а знак — союз «и». Читается формула А В так: «А и В»; «имеет место А и имеет место В». В обыденной речи операции конъюнкция в известной мере соответствует соединение двух или более предложений (суждений) с помощью союза «и». Различие состоит в том, что союз «и» в операции конъюнкция не предполагает связи между высказываниями по смыслу, что имеет место в обычной речи, а только по их истинности или ложности. В обычной речи с помощью союза «и», как правило, объединяют два или несколько предложений, связанных друг с другом в смысловом отношении, в них отображаются последовательно развивающиеся события или события, объединенные пространственными, причинными или какими-либо другими связями: как, напр.: «Он повернул выключатель и лампочка загорелась». В логике же связка «и» имеет несколько иной смысл: она может соединять любые высказывания: совершенно отвлекаясь от какой-либо связи предложений по смыслу, как, напр., «Биология является наукой и кит есть рыба».

В ряде книг по математической логике вместо знака применяются также такие знаки: «&» (у Д. Гильберта), «•» (у Б. Рассела, Г. Клауса), и тогда конъюнкция выглядит в символическом изображении так: А & В, или так: А.В.

Иногда «.» опускается и конъюнкция «А и В» записывается простым соположением высказываний, т. е. так, как записывается операция умножения в алгебре: АВ.

Высказывания А и В, соединенные таким образом, называются членами конъюнкции, или сомножителями логического произведения.

В символической записи, принятой в системе Я. Лукасевича, операция конъюнкции высказываний р и q представляется следующим образом: Cpq.

В теории множеств операции конъюнкция соответствует операция пересечения множеств, которая обозначается символом р|. В диаграммах Венна эта операция изображается так:

 

где прямоугольник — это универсальное множество (см.), а А и В — подмножества этого множества.

Отношение между логическими значениями исходных высказываний и логическим значением сложного конъюнктивного высказывания «А Д В» можно представить в виде такой таблицы: где «м» означает истинность, а «л» — ложность высказывания.

В первых двух столбцах таблицы представлены все возможные сочетания суждений А и В в отношении их истинности и ложности. Так, когда А истинно, то В также может быть истинно; когда А истинно, то В может быть и ложно; когда А ложно, то В может быть истинно; когда А ложно, то В тоже может быть ложно.

Из третьего столбца видно, каково будет значение конъюнктивного суждения «А В». Так, суждение «А В» ложно в трех случаях, а именно: 1) когда А истинно, а В ложно; 2) когда А ложно, а В истинно;

1) когда А ложно и В ложно. Суждение «А В» истинно только в одном случае: когда и А и В истинны. Это значит, что для того чтобы ответить на вопрос: истинно ли конъюнктивное высказывание «А В», надо установить, истинны ли оба атомарные (простые) высказывания А и В, входящие в сложное высказывание «А В». Когда это найдено, то значит высказывание «А В» истинно:

Если данные этой таблицы записать символически, то они будут выглядеть так:

А В= 1 (истина), если А и В одновременно равны 1; А В = 0 (ложь) в остальных вариантах.

На основании этой таблицы можно сделать еще одно важное заключение: какое бы конкретное содержание ни вкладывалось в А, всегда А и отрицание А, т.е. А (не-А), вместе не могут быть истинными. Это положение называется логическим законом противоречия, который формулируется так: не могут быть одновременно истинными два противоречащих высказывания об одном и том же предмете, взятом в одно и то же время и в одном и том же отношении.

Если истинное высказывание обозначить цифрой 1, а ложное высказывание выразить через 0, то таблица истинностного значения конъюнкции будет выглядеть так:

Если же хоть одно из суждений ложно, т. е. если, к примеру, студент не сдаст даже один из экзаменов, то он не получит диплома. Символически это будет записано так:

D ≡ 1 0 1 1 ≡ 0.

Если сравнить конъюнкцию (логическое умножение) и арифметическое произведение, то не представит труда увидеть, что результат соединения двух аргументов с помощью союза «и» в конъюнкции сходен с результатом арифметического произведения этих же двух аргументов. В арифметике умножение 1X1 дает 1, а умножение 0 X 0, 0 X 1 и 1 X 0 дает 0

Высказывание — термин математической логики, которым обозначается предложение какого-либо языка (естественного или искусственного), рассматриваемого в связи лишь с теми или иными оценками его истинностного значения (истинно, ложно, вероятно, возможно, необходимо и т. д.). Напр., фразы: «Фобос»— спутник планеты «Марс»» и «11 — четное число» — высказывания. Истинностное значение первого — истина, истинностное значение второго — ложь. Следовательно, когда суждение, являющееся содержанием такого-то высказывания, истинно, то истинно и данное высказывание, но если же суждение, являющееся содержанием данного высказывания, ложно, то ложно и само данное высказывание. В исчислении высказываний (см.) — начальном разделе математической логики — исследуются высказывания, которые или истинны, или ложны, но ни одно из высказываний не может быть одновременно истинным и ложным.

Алгебру логики Дж. Буля усовершенствовали У. С. Джевонс и Э. Шрёдер. Английский логик У.С. Джевонс (1835—1882) в книгах «Чистая логика» (1864), «Замещение подобных» (1869) и «Основы науки» (1874) критически отнесся к излишней математизации, характерной для алгебры логики Буля, и предложил свою теорию, основанную на принципе замещения, т. е. замене равного равным. Так, дедукция, которую он называл основой всякого мышления, излагалась им в русле исчисления классов, в котором логические операции совершаются в соответствии с принципом замещения.

Класс (лат. classis — группа) — совокупность объектов, имеющих один или несколько общих характеристических признаков. Признаки, в которых эти предметы сходны, называются общими признаками класса. Предметы, входящие в класс, называются элементами класса. Класс — это «нечто имеющее или могущее иметь элемент». Так, класс «общественно-экономические формации» состоит из следующих элементов: первобытнообщинная, рабовладельческая, феодальная, капиталистическая и коммунистическая формации. Классы могут быть конечными (например, класс планет Солнечной системы) и бесконечными (например, класс всех четных чисел), неопределенными (например, класс всех двудомных растений) и пустыми (когда класс не имеет в самом себе ни одного элемента, например, класс «спортсменов, пробежавших стометровку за 8 секунд»). Класс может состоять и из одного элемента (например, «Александр Македонский»).

Над классами можно производить такие логические действия, как сложение классов (A∪В) и умножение классов (А⋂В). Эти действия подчиняются законам коммутативности и ассоциативности. Два класса являются тождественными, если они составлены в точности из одних и тех же элементов.

В логических операциях с элементами и классами нередко допускается такая типичная ошибка: то, что утверждается об элементах класса, переносится и на класс в целом, и, наоборот, то, что утверждается о классе в целом, переносится на элементы. Например, утверждение, что «данный лес строевой» нельзя распространить на каждое дерево этого леса, так как в лесу могут быть и нестроевые деревья. Класс предметов — это нечто новое в сравнении с отдельными элементами.

Ассоциативности закон (лат. association- соединение) — закон, по которому при двукратном производстве операции над тремя данными высказываниями можно соединить (ассоциировать) первое и второе высказывания, произвести операцию над ними, а затем ту же операцию произвести над полученным результатом и третьим высказыванием; но можно также соединить второе высказывание с третьим, произвести операцию над ними, а затем ту же операцию произвести над первым высказыванием и полученным результатом; в обоих случаях конечный результат должен быть один и тот же. Все это подобно ассоциативности сложения и умножения чисел в алгебре, выражаемой тождествами:

(а + b) + с = а + (b + с) — ассоциативный закон для сложения;

(аb) с = а (bс) — ассоциативный закон для умножения.

В математической логике закон ассоциативности выражается следующим образом:

ассоциативный закон для конъюнкции:

(А В) С ≡ А (В С),

что означает: конъюнктивное высказывание «(А и В) и С равносильно конъюнктивному высказыванию «А и (В и С)»;

ассоциативный закон для дизъюнкции:

(А В) С ≡ А (В С),

что означает: дизъюнктивное высказывание «(А или В) или С» равносильно дизъюнктивному высказыванию «А или (В или С)». В обоих примерах, где буквы А, В и С означают произвольные высказывания,

знак конъюнкции, соответствующий союзу «и», — знак, соответствующий союзу «или» в соединительно-разделительном значении, ≡ знак равносильности.

В силу закона ассоциативности в формулах, представляющих конъюнкцию высказываний или дизъюнкцию высказываний, можно опускать скобки.

Коммутативность (лат. commutativus — меняющийся, подвергающийся перемещению) — переместительность, свойство алгебраической операции, сущность которой состоит в том, что результат операции с двумя элементами не зависит от порядка, в каком берутся эти элементы. Так, результат сложения двух чисел не зависит от порядка слагаемых, а результат умножения не зависит от порядка множителей. Другими словами, действия сложения и умножения чисел являются коммутативными (переместительными); они удовлетворяют коммутативному (переместительному) закону. Переместительный закон сложения записывается в виде следующей формулы:

х + у = у + х.

Переместительный закон умножения записывается в виде следующей формулы:

ху = ух.

В математической логике свойство коммутативности присуще операциям конъюнкция, дизъюнкция и эквивалентность

Эквивалентность (лат. aequalis — равный и valentis — имеющий силу; равносильность) — операция математической логики, позволяющая из двух высказываний А и В получить новое высказывание А ~ В, в котором операция эквивалентности обозначается знаком ~ («тильда») и которое истинно тогда и только тогда, когда А и В оба истинны или оба ложны; эквивалентность А и В ложна тогда и только тогда, когда одно из высказываний, входящих в это сложное высказывание, ложно, а другое истинно. Напр., суждение «Если и только если треугольник равносторонний, то он и равноугольный» является истинным суждением эквивалентности.

В высказывании А ~ В знак эквивалентности читается так: «если, и только если» или «тогда и только тогда...» Возможно и такое прочтение: «Если А, то В, и обратно», «А, если В, и В, если А»; «Для А необходимо и достаточно J5», «А материально эквивалентно Б»; «А равносильно 5».

Эквивалентность иногда называют биусловным высказыванием, что можно выразить такой формулой: если А, то В, и, если В, то А.

В эквивалентном высказывании «А ~ В» атомарное суждение А называется левой частью эквивалентности, а атомарное суждение В — правой частью эквивалентности.

Эквивалентность можно записать и такими знаками: ↔, ⇄, ≡ напр.:

А↔ B; А ⇄ В; А ≡ B.

 

Но так же как в импликации, где союз «если..., то...» не выражал смысловой связи двух высказываний, так и в эквивалентности связь «если, и только если» выражает лишь отношение между А и В по истинностным значениям («истина» и «ложь»), а не по смысловой связи между высказываниями. Всякие две истинные формулы исчисления высказывания эквивалентны

импликация (лат. implicite — тесно связываю) — логическая операция, связывающая два высказывания в сложное высказывание с помощью логической связки, которой в обычном языке в значительной мере соответствует союз «если..., то...»; «Если А, то В». Импликация изображается символически следующим образом:

А → В,

где буква А обозначает антецедент, буква В - консеквент, знак → свидетельствует о том, что между А и В имеется отношение импликации. Читается высказывание А → В» так: «А влечет (имплицирует) В.

Импликация может обозначаться и так:

А ⊃ В,

где знак ⊃ означает слово «влечет» («имплицирует»).

Первый член такого выражения («Если А, то В»), который начинается после слова «если» и до частицы «то», называется антецедентом (предыдущим), основанием условного высказывания, а второй член (вводимый при помощи слова «то» — «В») называется консеквентом (последующим), следствием условного высказывания. Приняты также и такие названия: А — посылка, В — следствие, а высказывание «А →В» — следование.

В математической логике и математике термином «класс» обозначают произвольные совокупности объектов и отличают те классы, которые являются членами других классов, называя их множествами. Такие классы множества могут состоять из индивидуумов. Их называют классами первой степени; классы, которые состоят не из индивидуумов, а из классов первой степени, называются классами второй степени. Индивидуальные предметы обозначаются малыми буквами латинского алфавита (а, b, с,...), а классы таких предметов - прописными буквами латинского алфавита (Л, В, С...).

Также класс называется множеством, если он является элементом какого-нибудь класса, а класс не являющийся множеством, называется собственным классом. Следовательно, некоторые классы не являются множествами. «Множества предназначены быть теми надежными, удобными классами, которыми математики пользуются в своей повседневной деятельности; в то время как собственные классы мыслятся как чудовищно необъятные собрания, которые, если позволить им быть множествами (т. е. быть элементами других классов), порождают противоречия» [Мендельсон Э. Введение в математическую логику.-М.,1971].

Множество распадается не только на элементы, но и на подмножества (части), которые являются совокупностями элементов данного множества. Так, квадраты будут подмножеством множества прямоугольников. Принадлежность элемента множеству символически записывается так: а М, что читается так: «а есть элемент множества М». Включение подмножества во множество символически выражается так: а , что читается так: «а есть часть М».

теория классов — часть математической логики, в которой исследуется понятие класса и его общие свойства. Класс состоит из элементов. Принадлежность элемента х к классу К, выражается следующей формулой: х ϵ К.

В математической логике различают универсальный класс и нулевой класс. Между классами существуют различные отношения.

Основными отношениями являются: отношения включения класса в класс; отношения частичного совпадения или пересечения классов, отношения взаимного исключения или раздельности классов. Данные отношения между классами определяются следующими законами:

1) для всякого класса К, К ⊃ К;

2) если К ⊃ В,а В ⊃ К, то К ≡ В;

В 1877 г. Э. Шрёдер (1841—1902) опубликовал книгу по математической логике, в которой систематически изложил основы алгебры логики («Der Operationskreis des Logikkalkiils»).

Большой вклад в развитие математической логики внес русский астроном, логик и математик, профессор Казанского университета П.С.Порецкий (1846—1907). Обобщив достижения Дж.Буля, У.С.Джевонса и Э.Шрёдера, он на основе многолетних самостоятельных исследований создал содержательный труд «О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики» (1884), в котором значительно продвинул вперед разработку аппарата алгебры логики. Работы П. С. Порецкого фактически превосходят не только труды его коллег современников, но и в части, касающейся алгебры логики, соответствующие разделы «Principia Mathematica» Уайтхеда и Рассела. Исследования П.С.Порецкого продолжают оказывать стимулирующее влияние на развитие алгебраических теорий логики и в наши дни». Американский математик А. Блейк метод П.С.Порецкого ставит выше метода Э. Шрёдера.

П.С.Порецкий первым в России начал читать лекции по математической логике. Математическая логика, говорил он, «по предмету своему есть логика, а по методу математика». Задачу математической логики он видел в «построении теории умозаключений». При этом русский логик точно определял связь и границу между математикой и математической логикой, он писал: «Если формы, изучаемые алгеброй, суть количественные, то, наоборот, те формы, с которыми имеет дело логика, суть качественные, т. е. существенно отличные от первых. Это различие ближайших предметов изучения алгебры и логики делает невозможным прямое перенесение, т.е. непосредственное применение, принципов и приемов алгебры к предмету логики. Однако, приспособление этих приемов (с полным сохранением всей их точности) к изучению качественных форм вполне возможно».

В системе П.С.Порецкого были приняты следующие знаки:

малые латинские буквы (а,b,с,...)—для обозначения классов предметов, не зависимых друг от друга и не находящихся ни в каких отношениях друг с другом:

малые латинские буквы с приставкой «не» (не а, не b и т. п.) — для обозначения отрицания классов;

малые латинские буквы с индексами (...) для обозначения класса предметов, не обладающих теми свойствами, которые присущи классам а, b и т. п.;

произведения ab, bс и т. п.—для обозначения того обстоятельства, что два или несколько классов («качественных форм», по выражению П.С.Порецкого) предметов совместно обладают несколькими независимыми свойствами.

Эти классы обладают свойством коммутативностям: аb = ba и свойством ассоциативности:(ab)с = а (bс).

Операцию логического умножения, которая в современной математической логике обозначается словом конъюнкция. П.С.Порецкий называл реализованием качественных форм; операцию логического сложения (в современной математической логике — дизъюнкция) — абстрагированием качественных форм. Операция логического сложения обладает свойствами коммутативности и ассоциативности. П.С.Порецкий использовал еще и такие обозначения:

0 (логический нуль) — качественные формы, не имеющие никакого содержания;

1 — качественные формы, содержащие в себе всевозможные подклассы, входящие в рассматриваемое рассуждение.

При этом он замечает, что

а + 0 = а; а*1 = а.

Операции логического сложения и логического умножения взаимно обратимы. Для обозначения класса, отрицающего класс «а», вводится знак индекс, что записывается так: oj.

Кроме операций сложения, умножения и отрицания, П.С.Порецкий рассматривает операцию логической эквивалентности, которую обозначает знаком =. Эта операция подчиняется трем правилам:

1) равенство а = b не нарушается, если к обеим частям прибавить один и тот же класс: а + с = b + с;

2) равенство а = b не нарушается, если обе части умножить на один и тот же класс: ad = bd;

3) равенство а = b не нарушается, если а и b заменить их отрицаниями а и b.

Большим вкладом П.С. Порецкого в математическую логику явилась предложенная им полная законченная теория качественных форм. Он разработал теорию логических равенств, предложил наиболее общий, исчерпывающий метод нахождения всех эквивалентных форм посылок, всех следствий из них, всех простейших, неразложимых посылок, на которые может быть разложена данная система посылок.

Понимая огромное значение формальных логических систем для исследования содержательного мышления, П.С. Порецкий предупреждал против увлечения построением надуманных систем, оторванных от жизни. Необходимы, говорил он, такие формальные логические системы, которые выдерживают проверку той или иной интерпретацией на область реальных объектов. Если же интерпретация невозможна, то, следовательно, исходные аксиомы и теоремы данной формальной логической системы не могут считаться содержательно истинными.

Основываясь на алгебре логики Дж. Буля, Э. Шрёдера и П.С. Порецкого, советский логик и математик И.И. Жегалкин (1869—1947) стал дальше упрощать законы оперирования с логическим сложением и логическим умножением. Он стремился к тому, чтобы свести эти операции к таким действиям, на которые бы распространялись арифметические законы переместительности, сочетательности и ассоциативности.

В США математическую логику развивал Ч. Пирс (1839—1914). Известны его работы во многих областях этой науки: строгой и разделительной дизъюнкции, материальной импликации, строгой импликации, индукции и гипотезы, логического исчисления, логики отношений и др.

В конце XIX — начале XX в. появились труды немецкого логика и математика Г. Фреге (1848—1925). В его книге «Исчисления» (1879) дана теория исчисления высказываний, которая является первым разделом современной математической логики, впервые сформулировано пропозициональное исчисление, т. е. исчисление высказываний в виде логической системы. Г. Фреге предложил первое аксиоматическое построение логики высказываний. В 1893—1903 гг. немецкий логик в книге «Основания математики» сформулировал очень важное для операций математической логики правило подстановки, важность которого Б. Рассел признал только в 1919г. Г. Фреге ввел в математическую логику понятие квантора. Он считается основоположником логической семантики. Но его идеи в течение продолжительного времени не находили сторонников, а исчисление высказываний развивалось, как отмечает А. Чёрч, на основе более старой точки зрения, как это можно видеть в работах Пирса, Э. Шрёдера и других.

 

Логическая семантика (греч. semanticos— обозначающий) — раздел логики, в котором изучается смысловая сторона, смысловое значение слов и обозначенных ими суждений и понятий. Многие проблемы логической семантики — что означают понятия «смысл», «значение», «имя», «истинность», «ложность», «следование» и др. — в той пли иной мере ставились и решались в трудах почти всех известных логиков. В ее современном виде логическая семантика начала разрабатываться в трудах Ч. Пирса (1839—1914) и Г. Фреге (1848—1925), а затем в работах Б. Рассела, Р. Карнапа, В. Куайна, А. Чёрча, А. Тарского, Дж. Кемени и других.

Логическую семантику подразделяют на теорию референции (обозначения) и смысла (значения). Наиболее разработанной является теория референции, которая исследует отношение знака к обозначаемому (основные категории ее — имя, обозначение, определимость, выполнимость, истинность и др.). Теория референции считается базой теории выводов и методологии дедуктивных схем. Она используется при определении таких понятий, как модель, аксиоматизируемость, семантическая непротиворечивость и др. Менее разработана теория смысла. В ней исследуется отношение знака к выражаемому или содержанию (основные категории теории смысла — смысл, синонимия, аналитическая истинность, логическая истинность и др.).

В логической семантике много внимания отводится анализу причин парадоксов и трудностей, которые появляются в ходе семантического анализа

Кванторы (лат. quantum — сколько) — принятое в исчислении предикатов (см.) математической логики название логических операторов, выражающих собой определенные утверждения двух типов — общности (универсальности) либо существования (частности). Различают два вида кванторов:

1. ∀x, который называется квантором общности, или знаком общности. Читается эта запись так: «для всякого х...», Логическое выражение ∀ х () истинно, если()принимает значение истина для всех значений переменной х, и ∀ х () ложно, если существует хотя бы одно значение х, такое, для которого () принимает значение ложь.

В качестве символа квантора общности взята перевернутая буква А (первая буква немецкого слова alle — все). Например, высказывание «Всякое х является числом, делящимся на три без остатка» с помощью квантора общности записывается так: «∀ х (х — число, делящееся на три без остатка)». Суждение «Все металлы электропроводны» с помощью квантора общности можно записать так: «Для всех х, если х есть металл, то х — электропроводен», где х — выполняет роль субъекта, а «быть металлом» и быть «электропроводным» — предикатов суждения.

В математической и логической литературе квантор общности иногда обозначается с помощью таких символов:

(х), (Ах), .

 

В обычной речи квантор общности не употребляется, но встречаются слова, которые сходны с этим квантором по логическому смыслу, как, например, «каждый», «всякий» и т. д.

2. ∃х, который называется квантором существования, или знаком существования.

Читается эта запись так: «Существует такой х, что...» Логическое выражение ∃х () истинно, если () принимает значение истина хотя бы для одного значения переменной х, и ∃х ()ложно, если () для всех значений переменной х принимает значение ложь.

В качестве символа квантора существования взята перевернутая буква Е (первая буква немецкого слова existieren — существовать). Например, высказывание «Существует такое число х, которое является числом, делящимся на три без остатка» с помощью квантора существования записывается так: «∃х (х — число, делящееся на три без остатка»).

Суждение «Некоторые металлы электропроводны» с помощью квантора существования можно записать так: «Существует х такой, что х является металлом и электропроводным».

В математической и логической литературе квантор существования иногда обозначается и с помощью таких символов:

E x,

В обычной речи квантор существования не употребляется, но встречаются слова, которые сходны с этим квантором по логическому смыслу, как, напр., «некоторый», «несколько» и т. д.

Знак квантора (∀ или ∃) ставится перед высказыванием. Справа от знаков ∀ и ∃ ставится буква (чаще лат. х, у у z,,..), которая называется кванторной переменной и является непременной составной частью написания квантора (напр., ∀х, ∃х и т. п.).

Современные символы для кванторов ввел в математическую логику немецкий математик и логик Г. Фреге в 1879 v. Как установил А. Чёрч, несколько позднее и независимо от Г. Фреге начал употреблять в своих работах кванторы Пост, а затем они появляются в трудах Пеано, Рассела и других.

Современную форму математической логике придал итальянский математик и логик Джузеппе Пеано (1858— 1932). Он ввел в математическую логику символы:

⊃ — знак включения; U — знак объединения множеств; /\ — знак пересечения множеств; ϵ — знак принадлежности элемента множеству.

Д. Пеано разработал систему аксиом для арифметики натуральных чисел. С помощью изобретенного им символического исчисления попытался исследовать основные математические понятия. В логической литературе это рассматривается как первый шаг практического применения математической логики к изучению логических основ математики. В вышедшем в 1895—1905 гг. пятитомном труде «Математический формуляр» Д. Пеано показал, как с помощью символического исчисления можно практически построить математические дисциплины.

В 1903 г. в Лондоне вышла книга английского философа и логика Б. Рассела «Принципы математики», в которой уже более систематически была разработана теория исчисления высказываний и классов, построенная на таких двух пропозициональных связках, как импликация и конъюнкция и на двух правилах вывода: modus ponens (modus – мера, образ, способ; ponens – гипотетический силлогизм) и правило подстановки, которое, правда, еще не было сформулировано явно.

MODUS PONENS – латинское название первой формы гипотетического силлогизма, которая в математической логике может быть выражена в виде следующей аксиомой:

(А /\ (А→В)) →В, (2.4)

где, А и В – высказывания, знак /\ обозначает союз «и», а знак → - слово «влечёт» («имплицирует»). Читается формула (2.4) так: «Если известно, что высказывание А влечёт (имплицирует) высказывание В, а также известно, что А истинно, то, следовательно, В истинно».

В математической логике правило вывода по форме modus ponens называют иногда правилом отделения.

Введение формулы modus ponens в логику и её первое истолкование принадлежит ученику Аристотеля Теофрасту (ок. 372-ок.287 до н.э.).

Через десять лет после 1903 г. была завершена публикация основополагающего трехтомного труда «Principia Mathematica» («Принципы математики») (1910—1913), написанного Б. Расселом совместно с А. Уайтхедом (1861—1947). Этот труд значительно способствовал развитию математической логики по пути дальнейшей аксиоматизации и формализации исчисления высказываний, классов и предикатов. В основе этой работы лежала следующая идея: если система натуральных чисел и почти вся математика строятся дедуктивно (от общего к частному и единичному), исходя из некоторого множества постулатов логики, то математика вполне может быть отождествлена с логикой. В этом Б. Рассел и А. Уайтхед видели выход из кризиса, в котором оказались математика в связи с обнаружением парадоксов в теории множеств. Это была концепция логицизма. С этой целью они построили формализованную логико-математическую систему, в которой, как они утверждали, могут быть доказаны все содержательно истинные предложения.

Но не прошло и двух десятков лет, как стало ясно, что попытка Б. Рассела и А. Уайтхеда свести всю чистую математику к логике не увенчалась успехом. В 1930—1931 гг. австрийский математик и логик К. Гёдель установил, что не только разработанная Расселом и Уайтхедом система, но и любая система формализованной математики является неполной, т. е. не все содержательно истинные предложения могут быть в ней доказаны.

Большую роль в развитии математической логики сыграла работа известного немецкого математика и логика Д. Гильберта и немецкого математика В. Аккермана «Основные элементы теоретической логики» (1928) которая в 1947 г. была издана на русском языке под названием «Основы теоретической логики». О том новом, что содержит в себе математическая логика в сравнении с традиционной формальной логикой, они кратко и вместе с тем очень ясно сказали следующее: «Логические связи, которые существуют между суждениями, понятиями и т. д., находят свое выражение в формулах, толкование которых свободно от неясностей, какие легко могли бы возникнуть при словесном выражении. Переход к логическим следствиям, совершающийся посредством умозаключения, разлагается на свои последние элементы и представляется как формальное преобразование исходных формул по известным правилам, которые, аналогичны правилам счета в алгебре; логическое мышление отображается в логическом исчислении. Логическое исчисление делает возможным успешный охват проблем, перед которыми принципиально бессильно чисто содержательное логическое мышление».

В тридцатых и сороковых годах XX в. начинается разработка металогики, предметом которой является исследование системы положений и понятий самой математической логики, которая определяет границы этой логики, изучает теорию доказательства. Основными разделами металогики являются логический синтаксис и логическая семантика. Так, в логической семантике изучаются значение выражений языка, интерпретация логических исчислений и т. д.

В металогических исследованиях уделяется большое внимание анализу самых различных свойств формализованных языков, которым предстоит сыграть большую роль в электронных машинах, предназначенных для автоматизации научных умозаключений. В области логической семантики особенно известны, работы «О понятии истины в формализованных языках» (1933) виднейшего представителя львовско-варшавской школы, логика и математика А. Тарского (р. 1902) [40]; «Исследования по семантике» (1942— 1947) современного американского методолога науки и логика Р. Карнапа.

Много внимания сейчас уделяется исследованиям в области многозначных логик, в которых высказываниям приписывается любое конечное (3 и больше) или бесконечное множество значений истинности. Первой системой многозначной логики была трехзначная логика высказываний, разработанная польским логиком Я. Лукасевичем (1878—1956). Им же была предложена в 1964 г. четырехзначная система логики, а затем и бесконечнозначная логика. После первой работы Я. Лукасевича (1920) проблемами многозначной логики занимались Е. Пост, С. Яськовский, Д. Вебб, А. Гейтинг, А. Н. Колмогоров, Д. А. Бочвар, В. И. Шестаков, Г. Рейхенбах, С. К. Клини, П. Детуш Феврие и другие ученые.

В середине ХХ в. развитие конструктивной математики поставило задачу разработки и конструктивной логики. В этой связи большой вклад в логику был внесен А. А. Марковым, Н. А. Шаниным и их многочисленными учениками.

Крупным направлением в математической логике является теория математических доказательств, возникшая из применения логических исчислений к вопросам оснований математики(Г. Н. Поваров). Если алгебра логики XIX в. имела своим предметом главным образом конечные объекты, то теория математических доказательств занимается преимущественно проблемой бесконечности.

Еще до сороковых годов ХХ в. математическая логика многим казалась весьма абстрактной математической дисциплиной, далекой от практического применения. Но теперь общепризнано, что математическая логика наряду с теорией алгоритмов, образует,

теоретический фундамент для создания и применения ЭВМ и управляющих систем». В настоящее время, метод формализации доказательств является мощным орудием исследования в проблемах обоснования математики (А.А. Марков).

Математическая логика теснейшим образом связана с кибернетикой (А.А. Марков, А.И. Мальцев). Основоположник кибернетики Н. Винер заявил, что возникновение кибернетики было бы невозможно без математической логики. В теории предикатов математическая логика не только уточнила, но и развила дальше аристотелевскую силлогистику. Она обогатила науку более сильным и глубоким учением о логическом следовании. Средства математической логики оказались эффективными из решений ряда проблем построения аксиоматических теорий, уточнения понятия доказательства и разработки метода формализации доказательств. Трудно переоценить вклад математической логики в решении проблем и противоречий теории множеств.

Современная математическая логика — это множество логик (вероятностная, временная, деонтическая, индуктивная, интуиционистская, комбинаторная, конструктивная, многозначная, модальная и т. п.), каждая из которых представляет собой более или менее соответствующее описание процессов логического следования. Причем процесс дифференциации продолжается, что свидетельствует о ее прогрессирующем развитии [12].