Закон исключённого третьего

Исключенного третьего закон (лат. Lex exclusi tertii sive medii inter duo contradictoria) — это один из основных законов формальной логики, согласно которому из двух противоречащих высказываний в одно и то же время и в одном и том же отношении одно непременно истинно.

Иногда объединяют исключенного третьего закон и закон противоречия и формулируют следующее положение: между противоречащими высказываниями нет ничего среднего, т. е. третьего высказывания (третьего не дано: tertium non datur). Tertium non datur в этом смысле впервые был сформулирован Аристотелем. В «Метафизике» он писал: «равным образом не может быть ничего посредине между двумя противоречащими друг другу суждениями, но об одном субъекте всякий отдельный предикат необходимо либо утверждать, либо отрицать» [2].

Действительно, нельзя одновременно высказать две такие мысли об определенном объекте, напр., числе, и обе мысли называть истинными: «это число простое» и «это число непростое» и при этом иметь в виду одно и то же число. Не нужно большого труда, чтобы определить, что только одна ив них истинна (напр., «7 есть простое число»), а другая («7 не есть простое число»)— обязательно ложна, третья же возможность исключена.

Символически закон исключенного третьего изображается в виде следующей формулы:

 

А есть либо В, либо не В. (2.16)

Как и всякая формула, и эта формула огрубляет существо закона, так как из нее не видно, что закон исключенного третьего запрещает противоречащие высказывания только в том случае, если речь идет об одном и том же предмете, взятом в одно и то же время и в одном и том же отношении. Из истории логики известно, что формула «А есть либо B, либо не В» часто использовалась различными критиками формальной логики с целью доказательства того, будто формальная логика вообще отрицает существование всяких противоречий в природе и в мысли; это — ошибка критиков. Формальная логика запрещает только логически противоречащие мысли, т. е. противоречащие мысли по одному и тому же вопросу, в одно и то же время.

В математической логике закон исключенного третьего также является одним из основных законов и выражается формулой:

А ∨Ā, (2.17)

где А обозначает любое высказывание, Ā — высказывание, противоречащее высказыванию А, V — знак дизъюнкции, сходный с союзом «или» в соединительно-разделительном смысле.

Поскольку в некоторых книгах по математической логике отрицание обозначается не чертой сверху, а символом ~ перед буквой, то можно встретить и такое символическое обозначение закона исключенного третьего:

A V(~A), (2.18)

что читается так: «А или (неверно, что А)».

Напомним, что высказывание — термин математической логики, которым обозначается предложение какого-либо языка (естественного или искусственного), рассматриваемого в связи лишь с теми или иными оценками его истинностного значения (истинно, ложно, вероятно, возможно, необходимо и т. д.). Например, фразы: «Фобос»— спутник планеты «Марс»» и «11 — четное число» — высказывания. Истинностное значение первого — истина, истинностное значение второго — ложь. Следовательно, когда суждение, являющееся содержанием такого-то высказывания, истинно, то истинно и данное высказывание, но если же суждение, являющееся содержанием данного высказывания, ложно, то ложно и само данное высказывание. В исчислении высказываний — начальном разделе математической логики — исследуются высказывания, которые или истинны, или ложны, но ни одно из высказываний не может быть одновременно истинным и ложным.

Как известно, именно из закона исключенного третьего вытекает принятое в математической логике следующее положение: «формула А называется формально опровержимой, если А доказуемо». В формуле (2.17) буквой А обозначаются высказывания, а А читается как «неА». На основе знания закона исключенного третьего в математической логике решается проблема выполнимости формул логики предикатов.

В ответ на интуиционистскую критику закона исключенного третьего немецкий математик Д. Гильберт говорил, что «отнять у математиков закон исключенного третьего — это то же, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользоваться кулаками» [Клини С.К. Введение в математику. –М.1957г.].

Закон исключенного третьего лежит в основе широко применяемых так называемых косвенных доказательств.

При применении закона исключенного третьего в содержательных рассуждениях следует учитывать, что закон исключенного третьего распространяется только на такие противоречащие высказывания, как:

1.Когда одно из высказываний что-либо утверждает относительно единичного предмета или явления, а другое высказывание это же самое отрицает относительно этого же предмета или явления, взятого в одно и то же время и в одном и том же отношении. Такими высказываниями будут, например, следующие «Волга впадает в Каспийское море» и «Волга не впадает в Каспийское море».

Оба эти высказывания не могут быть одновременно ни истинными, ни ложными. Одно из них истинное, а другое — ложное, и невозможно никакое третье, среднее высказывание. В самом деле, если кто-нибудь высказал бы суждение о том, что Нева впадает в Белое море, то такое высказывание не явилось бы третьим, средним, так как оно совпадало бы с суждением «Нева не впадает в Балтийское море».

Если же противоречащие по форме высказывания относятся не к единичному предмету, а к классу предметов, когда что-либо утверждается относительно каждого же предмета данного класса, то такие высказывания в действительности не являются противоречащими, а противными и поэтому закон исключенного третьего на них не распространяется.

Невозможность применения закона исключенного третьего к высказываниям о всех предметах какого-либо класса отмечал еще Аристотель. Такие высказывания он называл не противоречащими, а противоположными. «Если кто-либо общему приписывает вообще существование или же несуществование,— писал он,— то эти суждения будут взаимно противоположными». Говоря «высказаться относительно общего вообще», я разумею, напр.: «всякий человек бел, ни один человек не бел». Между такими суждениями имеется среднее: «некоторые люди белы» [2].

2.Когда одно из высказываний что-либо утверждает относительно всего класса предметов или явлений, а другое высказывание это же самое отрицает относительно части предметов или явлений этого же класса. Такими высказываниями будут, напр., следующие:

«Все рыбы дышат жабрами»

и

«Некоторые рыбы не дышат жабрами».

Одно из таких суждений обязательно ложно, другое истинно, а третьего быть не может. Оба эти высказывания не могут быть одновременно ни истинными, ни ложными.

Но закон исключенного третьего распространяется и на тот случай, когда одно из высказываний что-либо отрицает относительно всего класса предметов или явлений, а другое высказывание это же самое утверждает относительно части предметов или явлений этого же класса. Оба такие высказывания одновременно не могут быть истинными.

Закон исключенного третьего формулирует очень важное требование к нашим рассуждениям, теоретическим исследованиям: всякий раз, когда между утверждением и отрицанием того или иного понятия нет среднего, надо устранить неопределенность и выявлять, что из них ложно и что истинно. Если установлено, что данное суждение ложно, то из этого закономерно следует, что противоречащее ему суждение необходимо истинно.

Но если есть третье, т, е. между двумя известными нам положениями нет контрадикторного отношения (это отношения между противоречивыми суждениями), то, конечно, в таком случае применять закон исключенного третьего нельзя.

Закон исключенного третьего имеет силу как в рассуждении о простых вещах, так и в рассуждениях о сложных явлениях природы и общественной жизни. Идет же речь о «сжижаемости или несжижаемости газа», иди о том, «подымается иди не подымается революция»,— закон исключенного третьего действует в одинаковой мере. В первом и во втором случае — третье, среднее невозможно. Но из этого отнюдь не вытекает, что выводы в данных рассуждениях получены только о помощью закона исключенного третьего. Закон исключенного третьего, как и любой другой закон логики, один не в состоянии решить вопроса об истинности или ложности противоречащих высказываний. Для этого надо знать сами явления, законы их развития. Но когда установлено, что данные два высказывания являются противоречащими, тогда знание закона исключенного третьего имеет для нас важное значение. Руководствуясь этим законом, из ложности данного высказывания мы заключаем об истинности противоречащего высказывания, и, наоборот, из истинности данного высказывания мы сделаем вывод о том, что противоречащее ему высказывание ложно, а что третьего в таких случаях не бывает. Ничего большего нельзя приписывать закону исключенного третьего. В этом законе утверждается только одно: два противоречивых высказывания не могут быть истинными. Знание закона исключенного третьего имеет важное значение для того, чтобы в результате того или иного рассуждения прийти к истинному выводу.

Тот, кто знает этот закон, тот быстрее способен прийти к верному выводу в тех случаях, когда в рассуждении встречаются две противоречащие мысли. Знание отношений между противоречащими суждениями, в частности, между общеутвердительным суждением и частно-отрицательным суждением, имеет большое значение. Так, казалось бы, что ложное — общеутвердительное суждение проще всего было опровергнуть с помощью суждения общеотрицательного. Но в действительности, когда требуется доказать, что, например, утверждение «все цехи завода выполнили план» ложно, то достаточно обосновать истинность частно-отрицательного суждения: «некоторые цехи завода не выполнили плана». В самом деле, если доказано, что хоть один случай (в данном примере — цех) не подходит под общее правило, то этого достаточно для доказательства ложности общего суждения.

Логика давно предупреждает, что применять закон исключенного третьего не следует при ответе на такие вопросы, когда субъект по объему является более широким понятием, чем предикат. Так, например, можно ли назвать животное вообще млекопитающим? В данном случае положительный и отрицательный ответы будут ложными. Животное вообще может быть и млекопитающим, но может и не быть таковым.

К сожалению, не все философы поняли значение закона исключенного третьего для логического правильного мышления. Известны попытки превратно истолковать его содержание и на этом основании поставить под сомнение его значимость.

В новое время первые нападки на закон исключенного третьего сделал, как известно, Г.В. Гегель[6]. Он писал «Закон исключенного третьего есть закон определяющего рассудка, который, желая избегнуть противоречия, как раз впадает в него». Что можно сказать об этой критике закона исключенного третьего?

Во-первых, то, что формальная логика никогда не ставила перед людьми задачи «избегать противоречия» вообще. Формальная логика, отображая одну из закономерностей бытия, запрещает не все вообще противоречия, как это пытаются приписать ей Гегель и некоторые современные философы, а только один вид противоречий: противоречащие суждения об одном и том же предмете, взятом в одно и то же время и в одном и том же отношении. И не запрещает никаких других противоречий.

Во-вторых, Г.В. Гегель должен был знать, что закон исключенного третьего применяется только в трех случаях:

1) к двум единичным противоречащим суждениям;

2) к общеутвердительному и частно-отрицательному суждениям;

3) к общеотрицательному и частно-утвердительному суждениям.

Закон исключенного третьего, обеспечивающий связность и непротиворечивость мысли, имеет важное значение в мыслительном процессе[12].