Визначення еліпса і виведення його канонічного рівняння. Дослідження форми еліпса за його рівнянням

Еліпсом називається множина усіх точок площини, для яких сума відстаней від кожної до двох заданих точок, які називаються фокусами, є сталою величиною. Нехай і - фокуси еліпса. Для виведення рівняння еліпса система координат обирається, так щоб фокуси знаходились на осі , а початкова точка співпадала з серединою відрізка . Осі координат спрямовуються так, щоб система була правою. (Рис. 40.1)

Рис. 40.1

 

Нехай в обраній системі координат фокуси мають координати , . Візьмемо довільну точку еліпса . Відрізки, що з’єднують точку еліпса з фокусами, називаються фокальними радіусами точки. Позначимо їх , . Згідно визначення для будь-якої точки на еліпсі сума фокальних радіусів стала величина, яку позначимо :

 

.

 

Причому за властивостями сторін трикутника , отже, .

Фокальні радіуси дорівнюють

 

, .

 

Підставимо у

 

 

і отриману рівність перетворимо до вигляду:

 

.

 

Далі обидві частини останньої рівності підносимо до квадрату і спрощуємо:

 

,

 

,

 

.

 

Знову підносимо обидві частини рівності до квадрату:

 

,

 

,

 

.

 

Оскільки , то введемо позначення і знайдемо з останнього

 

.

 

Після ділення на обох частин остаточно знаходимо

 

 

Рівняння називається канонічним рівнянням еліпса.

У рівняння координати і входять у другій степені, тому кажуть, що еліпс – крива другого порядку.

Виведене рівняння дозволяє встановити наступні властивості еліпса.

1. Обмеженість еліпса. З рівняння випливає або , чи , . Геометрично ці нерівності означають, що еліпс – це обмежена лінія, яка знаходиться у прямокутнику, утвореному прямими .

2. Симетричність і точки перетину з координатними осями. Оскільки координати і входять у тільки у квадраті, то з того, що точка належить еліпсу, випливає, що і точки , , належать цьому еліпсу. Це означає, що осі і є осями симетрії еліпса, а точка - його центром. Оскільки еліпс має центр симетрії, то він є центральною кривою.

При з маємо . Отже, точки , є точками перетину еліпса з віссю . Якщо , то , і точки і є точками перетину еліпса з віссю (Рис. 40.2). Точки перетину еліпса з осями координат називаються його вершинами. Відрізок називається великою віссю еліпса, а відрізки великими півосями. Відрізок називається малою віссю еліпса, а відрізки його малими півосями.

 

 

Рис. 40.2

 

3. Ексцентриситет еліпса. Обчислення фокальних радіусів точки на еліпсі.

Ексцентриситетом еліпса називається відношення відстані між фокусами до довжини великої осі:

 

 

або, оскільки ,

 

 

Можна бачити, що ексцентриситет може приймати значення . З випливає,що чим більше ексцентриситет, тим менше мала вісь за велику і тим більше витягнутий еліпс вздовж великої осі. У граничному випадку маємо і еліпс перетворюється у відрізок . При , , тобто фокуси еліпса співпадають, а сам він перетворюється у коло радіуса . Це коло, як випливає з, визначається рівнянням .

За допомогою ексцентриситету можна знайти прості вирази для фокальних радіусів точки на еліпсі. Дійсно, з знаходимо

 

 

і підставляємо у формули для фокальних радіусів (11.2):

 

 

.

 

Враховано, що завжди .

Після аналогічних перетворень для другого фокального радіуса знаходимо остаточно

 

.

 

4. Директриси еліпса і їх властивості.

Прямі (Рис. 40.2)

 

 

називаються директрисами еліпса. Головною властивістю директис є наступна: відношення фокального радіуса точки еліпса до відстані від неї до відповідної директриси дорівнює ексцентриситету еліпса. Тобто, якщо (Рис. 40.2), то

 

.

 

Дійсно, ,

. Звідси випливають рівності.