Визначення гіперболи і виведення її канонічного рівняння. Дослідження форми гіперболи за її рівнянням

 

Гіперболою називається множина точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох заданих точок, які називаються фокусами, є величина стала.

Нехай точки і - це фокуси гіперболи. Для виведення її рівняння система координат обирається так само, як і у випадку еліпса (Рис. 40.1). Відрізки, що з’єднують довільну точку гіперболи з фокусами, називаються її фокальними радіусами (Рис. 40.1) і знаходяться за формулами. Згідно визначення гіперболи модуль різниці фокальних радіусів для точок гіперболи – це стала величина, яку позначимо . З властивостей сторін трикутника , . Тоді має виконуватись рівність:

 

 

Після підстановки у фокальних радіусів з отримаємо:

 

 

Внаслідок перетворень останнього рівняння, аналогічно проведеним у випадку еліпса, приходимо до наступного:

 

 

Рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи. Як і еліпс, гіпербола є кривою другого порядку.

Встановимо основні властивості гіперболи.

1. З можна бачити що , тобто Це означає, що гіпербола - необмежена лінія, яка складається з двох частин, що розміщуються у частинах координатної площини та .Ці частини гіперболи називаються її гілками.

 

2. Як і еліпс, гіпербола симетрична відносно осей і і точки Таким чином, гіпербола - це теж центральна крива.

Точки є точками перетину гіперболи з віссю і називаються її вершинами. З віссю гіпербола не перетинається.

Відрізок називається дійсною віссю гіперболи, а відрізок називається її уявною віссю.

 

3. Асимптоти гіперболи.

Здійснимо над рівнянням наступне перетворення:

 

 

 

Ця рівність означає, що для будь-якої точки гіперболи виконується нерівність

 

, або

 

Нерівності означають, що точки гіпербли знаходяться у частині координатної площини, обмеженої прямими

 

 

Розглянемо величину . Тоді з можно записати:

 

 

Величина лежить у межах і прямує до ,коли прямує до нескінченності. Це означає, що при прямуванні до нескінченності точки гіперболи і точки прямих необмежено зближуються. Прямі називаються асимптотами гіперболи. Вони є діагоналями прямокутника, що утворюють прямі і . Він називається основним прямокутником гіперболи.

Встановлені властивості дають можливість зобразити гіперболу (Рис. 41.1).

 

4. Ексцентриситет гіперболи і формули для фокальних радіусів.

Ексцентриситетом гіперболи називається відношення відстані між фокусами до довжини дійсної осі:

 

 

Рис. 41.1

 

З знаходимо

 

 

З останньої формули можна бачити, що ексцентриситет гіперболи характеризує форму її основного прямокутника, а значить і форму гіперболи.

Окрім того, поняття ексецентриситета дає можливість знайти прості формули для фокальних радіусів точки на гіперболі:

 

 

Виведення цих формул здійснено аналогічно виведенню формул для еліпса.

 

5. Директриси гіперболи.

Директрисами гіперболи називаються прямі, що визначаються рівняннями

 

Директриси гіперболи мають властивості, аналогічні до директрис еліпса. Якщо і - відстані від точки гіперболи до директрис (Рис. 41.1), то завжди виконується рівність

 

 

Таким чином, відношення фокального радіуса точки гіперболи до відстані від неї до відповідної директриси дорівнює ексцентриситету гіперболи.