Обчислення відстані від точки до прямої і кута між двома прямими на координатній площині

 

Розглянемо на координатній площині пряму, задану загальним рівнянням

 

 

і точку поза цією прямою.

Рівняння у відповідній тривимірній системі координат визначає площину, паралельну до осі з нормальним вектором . (Рис. 38.1).

Рис. 38.1

 

Проведемо - перпедикуляр до прямої. Тоді - це відстань як до прямої у системі , так і до площини у системі . Тоді за формулою після покладення , знаходимо

 

 

Обчислення кута між прямими на координатній площині здійснюється в залежності від того, якими рівняннями вони задані. При задаванні прямих загальним рівнянням кут між прямими визначається як кут між їх нормальними векторами і і обчислюється за формулою аналогічно до:

 

 

У випадку завдання прямих канонічними рівняннями

 

 

кут між прямими визначається як кут між їх напрямними векторами і і обчислюється згідно формули:

 

 

Розглянемо випадок, коли прямі задано рівняннями з кутовим коефіціентами:

 

 

Нехай і кути, утворені цими прямими з додатним напрямком осі (Рис. 38.2):

Рис. 38.2

 

Тоді за властивостю зовнішнього кута трикутника , або .

Тоді , або оскільки ,

 

 

Оскільки паралельні прямі нахилені до осі під однаковим кутом, то умовою паралельності прямих є рівність

 

 

Якщо прямі перпендикулярні, то і тангенс кута є нескінченно великою величиною. Тому умова перпендикулярності цих прямих має вигляд: