Загальне і параметричне рівняння лінії на координатній площині. Рівняння кола. Загальне рівняння прямої на площині

 

Будь яка ліня , що знаходиться у площині ,може бути утворена як перетин деякої поверхні, заданої рівнянням , і площини (Рис. 36.1)

Рис. 36.1

 

Тоді кожна точка лінії задовольняє систему рівнянь

 

 

Можна у перше рівняння підставити і перепозначити . Тоді набуває вигляду

 

 

Це загальне рівняння лінії, що належить площині , записане у тривимірній системі координат . Якщо розглядати двовимірну систему координат , то загальне рівняння лінії виглядає наступним чином:

 

 

Параметричне рівняння лінії, що належить площині , згідно подається так:

 

, або ,

 

Отримаємо рівняння кола радіус , центр якого співпадає з точкою площини .

Для цього у тривимірній системі координат візьмемо сферу у цій самій точці. Вона визначається наступним рівнянням

 

 

Коло утворюється як перетин цієї сфери з площиною (Рис. 36.2).

Рис. 36.2

 

Воно визначається системою рівнянь

 

 

яка еквівалентна одному наступному рівнянню вигляду

 

 

Рівняння і є рівнянням кола на координатній площині з центром у точці і радіуса .

Пряма на координатній площині може бути утворена перетином цієї площини з довільною площиною (Рис. 36.3), яка задана загальним рівнянням

 

.

 

Рис. 36.3

 

Причому у рівнянні хоча б один з коефіцієнтів чи має бути відмінним від . Інакше площини і будуть паралельними і не перетинатися. Тоді пряма, що утворюється внаслідок перетину, визначається системою рівнянь

 

,

 

або одним рівнянням: .

Для зручності в останньому рівнянні перепозначимо коефіцієнти і запишемо його у вигляді:

 

 

Має місце теорема:

Теорема. Будь-яке рівняння визначає на координатній площині пряму, перпендикулярну до вектора .

Дійсно, оскільки , то рівняння має хоча б один розв’язок. Нехай - будь-який розв’язок цього рівняння. Тоді є вірною рівність

 

.

 

Складемо різницю рівнянь і

 

 

Розглянемо точки і вектор . Рівняння можна записати у вигляді . Це означає, що усі вектори мають початок у точці і перпендикулярні до вектора , тобто знаходяться на одній прямій, що перпендикулярна до цього вектора. Саме цю пряму визначає рівняння.

Рівняння називається загальним рівнянням прямої на координатній площині. Якщо розглянути довільні і , то це рівняння визначає усі прямі, що проходять через точку і називається рівнянням пучка прямих, що проходять через задану точку.