Объем и площадь n-мерной сферы

 

На основании размерности для объема n -мерной сферы радиусом r, для объема шарового слоя толщиной dr и для площади сферы получаем

 

,

 

,

 

.

 

Найдем постоянную , вычислив сходящийся интеграл

 

 

по всему пространству в декартовых и сферических координатах.

В декартовых координатах

 

,

 

,

тогда

,

 

где использован интеграл Пуассона (доказывается в курсе ММФ)

 

.

 

В сферических координатах

 

,

тогда

,

где использовано

.

 

Гамма-функция вычисляется по формулам

 

Г(n + 1) = n!, ,

 

Г(z + 1) = z Г(z),

 

,

 

, , ,

 

при .

 

Сравниваем результаты в декартовых координатах

 

и в сферических координатах

 

,

находим

.

 

В результате объем n -мерного шара, шарового слоя и площадь сферы

 

, (П.2.1)

 

. (П.2.2)

 

. (П.2.3)

 

В частности при с учетом получаем известные из школы соотношения

 

, , .

 

Эллипсоид с полуосями удовлетворяет уравнению

 

.

 

Сравниваем с уравнением сферы

 

,

обобщаем (П.2.1)

,

 

находим объем n -мерного эллипсоида

 

. (П.2.1а)