Фазовое пространство системы частиц

 

Микросостояние системы частиц отображается точкой фазового пространства

,

 

где и – обобщенные координата и импульс частицы системы; n – число степеней свободы системы. Число n равно числу проекций координат всех частиц и пропорционально числу частиц. Число проекций импульсов равно числу проекций координат, поэтому число независимых координат фазового пространства равно 2 n. Для каждой системы используется свое фазовое пространство.

Координата частицы газа и ее импульс с течением времени изменяются согласно уравнениям Гамильтона

 

, (2.1а)

 

. (2.1б)

 

Уильям Гамильтон (1805–1865)

 

Гамильтониан – полная энергия системы в виде суммы кинетических и потенциальных энергий всех частиц, выраженная через координаты и импульсы частиц:

.

 

Для нерелятивистской частицы k массой кинетическая энергия

 

.

 

Для консервативной системы полная энергия сохраняется

 

и микросостояния находятся на гиперповерхности фазового пространства.

Уравнения Гамильтона для одномерного движения частицы. Используем гамильтониан

.

 

Из уравнения Гамильтона (2.1а)

с учетом определения скорости

 

получаем известное соотношение между импульсом и скоростью

 

.

Из уравнения Гамильтона (2.1б)

 

находим

 

– второй закон Ньютона. Уравнения Гамильтона являются унифицированной формой записи известных уравнений механики на основе гамильтониана.