Пример. Идеальный газ двухатомных молекул

 

Между атомами молекулы имеется упругая связь, атомы совершают колебания. Такая система называется осциллятором. Молекулы независимы друг от друга. Полагаем, что поступательное, вращательное и колебательное движения молекулы происходят независимо, и между ними нет обмена энергией. Для колебательного движения молекулы найдем фазовую траекторию микросостояния и проверим выполнение теоремы Лиувилля.

1. Линейное колебание молекулы происходит с постоянной частотой ω и постоянной энергией E. Гамильтониан приравниваем полной энергии

 

.

 

В фазовом пространстве (x, p) микросостояние с движется по гиперповерхности с постоянной энергией. Это дает уравнение фазовой траектории микросостояния

,

 

являющееся уравнением эллипса

 

с полуосями

, ,

 

показанными на рисунке. Разные микросостояния отличаются друг от друга начальной фазой.

 

 

2. Находим число микросостояний, используя (2.2а):

 

.

 

Для рассматриваемого случая , и интеграл равен площади эллипса

,

тогда число микросостояний

 

, (П.2.4)

 

где . Поскольку n – целое число, то энергия осциллятора квантуется

, (П.2.4а)

 

где – квант энергии. Число микросостояний равно числу квантов энергии осциллятора

На рисунке показан спектр энергиигармонического осциллятора. Горизонтальная линия – уровень энергии показывает возможное состояние осциллятора. Величина равна энергии одного кванта, или интервалу эквидистантного спектра. На уровне осциллятор имеет n квантов энергии.

 

 

3. Для получения якобиана

 

найдем функции

, ,

 

где – начальная координата и начальный импульс при .

В уравнения Гамильтона (2.1)

 

,

 

подставляем гамильтониан осциллятора

 

.

Получаем

– связь скорости с импульсом,

 

– 2-й закон Ньютона ,

 

где – коэффициент жесткости упругой силы F;

 

.

 

Для решения системы двух уравнений дифференцируем первое уравнение

,

 

подставляем второе и получаем уравнение гармонических колебаний

 

.

Общее решение

,

тогда

.

 

Для нахождения параметров A и B накладываем начальные условия. При

,

 

,

получаем

, .

 

В результате закон изменения координат микросостояния с течением времени

,

 

.

 

Следовательно, микросостояния перемещаются по эллипсу по часовой стрелке с круговой частотой ω.

 

4. Вычисляем якобиан

 

.

 

Теорема Лиувилля выполняется.