Теорема Лиувилля

Равновесный газ описывается стационарным, то есть не зависящим от времени, гамильтонианом и постоянными термодинамическими параметрами. Макросостояние реализуется фазовым ансамблем микросостояний. Это множество точек с течением времени движется по фазовому пространству. Закон их перемещения описывает теорема Лиувилля – при движении точек фазового ансамбля плотность микросостояний вдоль траектории остается постоянной и зависит от гамильтониана

, . (2.5)

 

Аналогично течет несжимаемая жидкость, сохраняя свою плотность. Теорему доказал французский математик Лиувилль в 1838 г. Теорема используется для получения явного вида функции распределения состояний по фазовому пространству.

 

 

Жозеф Лиувилль (1809–1882)

 

Доказательство теоремы

Рассмотрим бесконечно малый объем фазового пространства в форме цилиндра с осью вдоль одной из обобщенных координат . Основания цилиндра перпендикулярны оси, длина образующей . Микросостояния с плотностью входят в объем и выходят из него.

 

 

Для нахождения числа вошедших за 1с микросостояний представим микросостояние в виде точки на рисунке. Число точек в единице объема равно w. Если все точки двигаются со скоростью , то за 1с через сечение пройдут состояния, которые первоначально заполняли цилиндр с образующей, равной скорости. Умножаем объем цилиндра на плотность состояний, получаем число вошедших состояний

 

.

 

 

 

От точки к точке оси меняется плотность микросостояний и их скорость, тогда число состояний, выходящих через сечение равно

 

,

где использовано

.

 

 

 

Если плотность изменяется с течением времени, тогда в объеме появляются и исчезают состояния. За 1с в объеме появляется число состояний

.

 

Каждое состояние описывает реальную систему, поэтому число состояний сохраняется и выполняется уравнение баланса

 

«число появившихся состояний» =

= «число вошедших состояний» – «число вышедших состояний»:

 

.

 

Сокращаем подобные и получаем

 

.

 

Результат обобщаем на случай изменения всех координат фазового пространства

.

 

Раскрываем круглые скобки

 

.

 

Последняя скобка равна нулю согласно уравнениям Гамильтона (2.1)

 

, .

 

Получаем уравнение Лиувилля

 

(2.5а)

 

Используем выражение для полной производной

 

,

 

получаем теорему Лиувилля

 

(2.5б)

 

– полная производная по времени от плотности микросостояний равна нулю. Следовательно, плотность микросостояний фазового ансамбля не изменяется при его движении.

 

Пример

 

Для одномерного движения свободной частицы запишем уравнение Лиувилля и найдем его решение. Сравним результат с решением уравнений Гамильтона.

Уравнение Лиувилля (2.5а)

 

 

для одномерного движения частицы с имеет вид

 

. (П.2.2)

 

Для получения и используем гамильтониан свободной частицы

.

 

Из уравнений Гамильтона (2.1)

 

,

находим

, .

 

Задаем начальные условия , . Решаем уравнения и получаем известные формулы равномерного движения

 

, , . (П.2.3)

 

Подставляем (П.2.3) в (П.2.2)

 

 

и получаем уравнение Лиувилля

 

.

Уравнению удовлетворяет

 

,

 

где – распределение плотности вероятности обнаружения частицы в начальный момент времени.

Плотность вероятности обнаружения координаты и импульса частицы определяет траекторию и закон движения частицы в фазовом пространстве, как и уравнения Гамильтона. Если при для частицы заданы не начальные условия, а их распределение в фазовом пространстве , то динамика частицы описывается не уравнениями Гамильтона, а эволюционным уравнением Лиувилля (2.5а).