Интегральные методы расчета

Сложный характер турбулентного движения, которое пока не удается описать единой системой дифференциальных уравнений, обусловил широкое использование интегральных методов. Отличительной особенностью этих методов является задание в какой-либо форме профилей газодинамических параметров или их комбинаций. Это позволяет исключить из рассмотрения дифференциальные уравнения движения, энергии и диффузии и ограничиться использованием интегральных соотношений.

Проиллюстрируем применение метода интегральных соотношений к расчету основного участка струи, истекающей в затопленное пространство. На этом участке линейные размеры сопла пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием от него, что позволяет считать течение автомодельным и принять срез сопла за точечный источник массы, количества движения и энергии.

Запишем выведенные ранее (см. формулы (2.2.9) – (2.2.13), (2.4.11), (2.5.9)) интегральные законы сохранения количества движения, энергии и массы для изобарических участков сжимаемых неизотермических струй или струй с диффузионным факелом горения:

,               (3.1.1)

где , , , ,  – площадь струи в произвольном поперечном сечении на изобарическом участке,  – площадь начального сечения изобарического участка.

Для струй, истекающих в затопленное пространство, , суммарное количество движения в сечении  равно реактивной силе (см. формулу (2.2.12))

.      (3.1.2)

На основе опыта установлено, что для турбулентной струи на достаточно больших удалениях от среза сопла характер изменения математических ожиданий комплексов  по сечению струи на основном участке хорошо описывается экспоненциальными зависимостями вида

,         (3.1.3)

где индексом «m» обозначены параметры на оси; начало координат совмещено с центром выходного сечения сопла;  – продольная координата, совпадающая с осью струи и отсчитываемая от среза сопла;  – опытная константа, определяющая полюс струи;  – опытные константы.

Дополним (3.1.1) – (3.1.3) уравнением состояния, которое для изобарического участка струи имеет вид

,                    (3.1.4)

и термодинамическими зависимостями, определяющими  – для струй с физико-химическими превращениями,  – для неизотермических струй без физико-химических превращений. Если теперь выразить математические ожидания комбинаций газодинамических параметров через математические ожидания этих параметров, то система (3.1.1) – (3.1.4) становится замкнутой и, решая её, находим искомые средние значения газодинамических параметров в требуемых точках основного участка струи.

В работах, в которых используются интегральные методы расчета струйных течений, явно или неявно предполагается, что математические ожидания произведений газодинамических параметров равны произведениям математических ожиданий. Обычно это предположение не приводит к значительным ошибкам при определении математических ожиданий газодинамических параметров. Однако возможны реальные ситуации, в которых указанное предположение делать нельзя. Например, при истечении водородной струи в воздух диффузионный факел располагается вблизи наружной границы струи и температура в факеле вследствие пульсаций газодинамических параметров снижается почти на 1000 К.

Аналогичным образом определяются газодинамические параметры в зонах смешения на начальном участке турбулентной струи. Автомодельными зонами струи в этом случае являются пограничные слои, развивающиеся на поверхностях тангенциальных разрывов скорости. Профили  в сечениях пограничного слоя задаются зависимостями, полученными на основании обработки опытных данных.

При расчете блочных струй используется согласующийся с интегральными законами сохранения (3.1.1) и подтвержденный экспериментальными исследованиями принцип суперпозиции решений для комплексов :

,                        (3.1.5)

где  – значение комплекса  в заданной точке при работе всех двигателей, входящих в блок,  – при работе лишь j -го двигателя блока.

Отметим, что, разбивая начальное сечение изобарического участка турбулентной струи на элементарные струйки, используя соотношения типа (3.1.1) для основного участка j -й струйки и выполняя суммирование комплексов  в соответствии с формулой (3.1.5), можно найти распределение  по всему полю, в том числе и на неавтомодельных участках, при произвольном законе распределения  в начальном сечении.

Метод интегральных соотношений, базирующийся на зависимостях вида (3.1.1), может быть распространен с соответствующими видоизменениями, связанными с наличием продольного градиента давления, на струи в сносящем потоке.

Возможны и другие формы зависимостей, определяющих профили газодинамических параметров по сечению струи.
Так, например, в работах Г.И. Абрамовича задаются профи-
ли , , .  В  работах А.С. Гиневского

постулируется полиномиальный закон изменения турбулентного трения по сечению струи, что, с использованием гипотезы Прандтля о связи турбулентного трения с поперечным градиентом осредненной скорости, при соответствующих граничных условиях определяет, в конечном счете, профиль средней скорости. Известен еще ряд способов задания как аппроксимирующих зависимостей, так и комбинаций газодинамических параметров, для которых эти зависимости определены.

Вычисление среднеквадратических значений пульсаций газодинамических параметров и прочих вероятностных характеристик требует введения самостоятельных гипотез.

Среднеквадратическое значение пульсации  некоторой величины  обычно находится с помощью предположения о пропорциональности  поперечному градиенту математического ожидания . Коэффициент пропорциональности, в общем случае зависящий от координат выбранной точки и параметров на срезе сопла и окружающей среды, определяется по соотношениям, обобщающим экспериментальные результаты. В практике расчетов турбулентных струй широко используется, например, выражение для  на базе полуэмпирической теории Прандтля:

;   ,       (3.1.6)

где  – опытная константа,  – путь смешения.

Следует заметить, что для струй с диффузионными факелом предположение о пропорциональности  слишком грубо и приводит к большим количественным, а в ряде случаев и  качественным ошибкам в определении среднеквадратических величин пульсаций в значительных областях. Так, в зоне диффузионного факела горения поперечные градиенты математических ожиданий плотности  и температуры  равны нулю, в то время как среднеквадратические значения пульсаций плотности  и температуры  в этих областях близки к максимальным. Аналогичная картина наблюдается, в частности, и на основном участке струи: пульсации газодинамических параметров на оси достаточно велики, в то время как соответствующие градиенты математических ожиданий в силу симметрии равны нулю.

В зоне смешения блочных струй по сечению может наблюдаться еще больше (пять и более) зон с нулевыми градиентами  и  и значительными величинами  и .

Все это существенно ограничивает возможности применения соотношений типа (3.1.6) для определения среднеквадратических значений пульсаций газодинамических параметров в струях с диффузионным факелом.

Известны попытки "исправить" соотношения (3.1.6) введением слагаемых, пропорциональных второй производной от , что позволяет получить ненулевые значения  при нулевых градиентах величины . Однако формулы подобного типа не получили широкого распространения из-за сложности расчетных соотношений и необходимости введения еще ряда эмпирических констант. К тому же эти формулы недостаточно универсальны.

В заключение обратим внимание на сильные и слабые стороны интегральных методов, имея в виду их использование при создании пакета прикладных программ.

Интегральные методы позволяют с достаточной для технических приложений точностью получить математические ожидания газодинамических параметров или их комбинаций без учета пульсационного движения. В большинстве случаев учет пульсаций не приводит к заметному обратному влиянию на искомые величины. Поэтому задачи определения характеристик осредненного и пульсационного движения могут решаться раздельно.

Основной недостаток метода интегральных соотношений - большие ошибки при определении характеристик пульсационного движения, часть из которых, например характерные масштабы пульсационного движения, в рамках интегральных методов вообще не определяются.

Наибольшей универсальностью обладает метод расчёта, основанный на использовании соотношений (3.1.1) – (3.1.5). По ним рассчитываются математические ожидания газодинамических параметров на автомодельных и неавтомодельных изобарических участках различных типов струй, включая блочные струи. Другие интегральные методы, рассмотренные ранее, например методы, основанные на задании профилей скорости и температуры, заметно меньше распространены: они используются лишь для определения газодинамических параметров на автомодельных участках одиночных струй.

Опытные константы, входящие в расчетные зависимости интегральных методов, зависят от числа Маха на срезе сопла, нерасчетности, отношения плотностей на срезе сопла и в окружающей среде, числа Маха спутного потока и т.д. Интересно отметить, что количество опытных констант и набор факторов, влияющих на их величину, примерно одинаковы не только для интегральных методов, но и для рассматриваемых далее полуэмпирических моделей расчета турбулентных струй.

Основное положительное свойство интегральных методов - возможность определения газодинамических и электрофизических параметров только в требуемых точках струй и по достаточно простым зависимостям даже для трехмерных струй. В результате избыточная информация в процессе счета исключается, а время на проведение расчетов существенно сокращается.