Способы осреднения газодинамических параметров в струях с переменной плотностью

Построение уравнений Рейнольдса для сжимаемого газа поясним на примере плоской стационарной изобарической струи. Как и для несжимаемой жидкости, не будем учитывать молекулярные трение, тепловой поток и диффузию, полагая их пренебрежимо малыми по сравнению с их турбулентными аналогами.

Составим дифференциальные уравнения для математических ожиданий газодинамических комплексов:

· уравнение неразрывности

;                 (3.5.1)

· уравнение движения

;             (3.5.2)

· уравнение энергии

;      (3.5.3)

· уравнение диффузии

.            (3.5.4)

Приведенные в такой записи формулы описывают турбулентные струи различных типов: дозвуковые, сверхзвуковые, изотермические, неизотермические, струи с диффузионным факелом горения.

Если, следуя подходу Рейнольдса, каждый газодинамический параметр  представить в виде суммы среднего значения (математического ожидания) и отклонения от среднего (пульсации):

,                                 (3.5.5)

то, например, математическое ожидание произведения  запишется в виде

(3.5.6)

При постоянной плотности в правой части (3.5.6) отличны от нуля только первые два члена.

Большое количество корреляционных моментов, для которых, естественно, требуется подбирать на основе опыта замыкающие соотношения (при осреднении нелинейных членов , ,  и т.д.), побудило исследователей искать более удобные формы осреднения для описания течений с переменной плотностью. Наиболее удачная форма предложена Фавром. Метод Фавра предполагает осреднение всех параметров течения, кроме давления, по плотности. Например, средние значения проекций скорости определяются по формуле

                 (3.5.7)

Соответственно

.                           (3.5.8)

Для того чтобы отличить классический способ осреднения от осреднения по методу Фавра, в последнем случае средние значения будем обозначать , а пульсации – двумя штрихами вверху.

Применяя этот метод к слагаемым вида , получим

. (3.5.9)

Сравнивая соотношения (3.5.6) и (3.5.9), убеждаемся, что метод Фавра действительно позволяет существенно уменьшить число членов в правых частях этих соотношений для турбулентных течений с переменной плотностью. Если же плотность постоянна, то классический способ осреднения и осреднение по методу Фавра совпадают.

Применение метода Фавра к системе (3.5.1) – (3.5.4) позволяет получить уравнения для осредненных газодинамических параметров в форме, аналогичной уравнениям Рейнольдса для плоской струи несжимаемой жидкости:

· уравнение неразрывности

; (3.5.10)

· уравнение движения

; (3.5.11)

· уравнение энергии

 (3.5.12)

· уравнение диффузии

    (3.5.13)

По аналогии с ламинарным течением входящие в правые части уравнений (3.5.11) – (3.5.13) выражения , ,  можно рассматривать соответственно в качестве компонентов тензора добавочных турбулентных вязких напряжений и турбулентных составляющих векторов теплового потока и потоков диффузии вещества струи. Продолжая и далее аналогию с ламинарным течением, можно ввести коэффициенты турбулентной вязкости , турбулентной теплопроводности , турбулентной диффузии :

,                (3.5.14)

,              (3.5.15)

,             (3.5.16)

и турбулентные числа Прандтля  и Шмидта

,        .        (3.5.17)

Система уравнений для средних значений газодинамических параметров замыкается введением дополнительных полуэмпирических гипотез, постулирующих уравнения связи характеристик турбулентного переноса с осредненными параметрами течения.

В некоторых работах используется упрощенная схема получения замкнутых систем дифференциальных уравнений для осредненного турбулентного движения: уравнения для математических ожиданий газодинамических параметров записываются формально в таком же виде, как и для ламинарного течения, а турбулентные аналоги коэффициентов вязкости, теплопроводности и диффузии определяются по эмпирическим зависимостям.