Уравнение напряженного состояния для ламинарного движения жидкости

Так как уравнение напряженного состояния, так же как и уравнения неразрывности и движения, записываются для жидкостей и газов одинаково, то под словом «жидкости» будем одновременно подразумевать и газы.

Силы трения связаны со скоростями деформации. Поэтому начать следует с разделения суммарной скорости жидкой частицы  на составляющие:  – скорость поступательного движения вместе с выбранным центром – точкой О,  – скорость вращательного движения относительно этого центра и  – скорость деформационного движения, т.е.

.                       (2.3.1)

Угловую скорость вращательного движения, зная поле скоростей, найдем через так называемый вихревой вектор .

Вихревым вектором поля скоростей  называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру  плоской площадки , перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю:

.                (2.3.2)

Нормаль  к площадке направляется так, чтобы при вычислении циркуляции обход по контуру  казался совершающимся против часовой стрелки.

Покажем, что вектор  и вектор угловой скорости вращения жидкой частицы  связаны простым соотношением

.                            (2.3.3)

Для доказательства в качестве контура интегрирования возьмем окружность радиуса r с центром, совмещенным с центром вращения, а нормаль  к элементарной площадке  будем последовательно совмещать с координатными осями. Так как скорость  при вращении жидкой частицы как твердого тела равна:

,                      (2.3.4)

где через  обозначено векторное произведение, то

,      (2.3.5)

что доказывает равенство (2.3.3), из которого следует, что скорость вращательного движения

.                   (2.3.6)

Запишем выражение для проекций вектора  на оси декартовой системы координат.

Используем для сокращения записи следующий прием. Пусть задан набор из 27 чисел  (каждый из индексов меняется от 1 до 3). Зададим эти числа следующим образом:

  (2.3.7)

а все остальные значения  приравняем нулю.

Тогда с учетом принципа суммирования по повторяющемуся индексу проекции вихревого вектора  на оси равны:

.               (2.3.8)

Из соотношения (2.3.8) следует, что

.                (2.3.9)

Подставляя в уравнение (2.3.1) выражение (2.3.6), получим формулу для вычисления скорости деформационного движения в виде

.         (2.3.10)

Используя оператор  для записи векторного произведения в проекциях на оси координат:

(2.3.11)

и разлагая скорость  по координатным осям в ряд Тейлора относительно центра вращения, ограничиваясь в разложении первыми производными

,                   (2.3.12)

получим

, (2.3.13)

,                    (2.3.14)

где

.                    (2.3.15)

Из полученных значений  можно составить таблицу из девяти величин, называемую тензором скоростей деформации.

Напомним некоторые понятия тензорного исчисления.

Рассмотрим две декартовы системы координат:  и . Их взаимное расположение характеризуется таблицей направляющих косинусов

,                 (2.3.16)

где  – угол между ортами осей. Так как скалярное произведение не зависит от порядка сомножителей, то очевидно, что .

Если в каждой декартовой системе координат задана таблица величин с N индексами , где каждый индекс принимает значения от 1 до 3, и если элементы этой таблицы при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам

,           (2.3.17)

то говорят, что совокупность величин  образует аффинный ортогональный тензор ранга N.

Вывод уравнений напряженного состояния для пространственного движения жидкости опирается на два постулата.

Первый постулат: элементы тензора напряжений сил трения  линейно зависят от элементов тензора скоростей деформа-
ции :

,                        (2.3.18)

где  – тензор четвертого ранга, описывающий свойства среды.

Второй постулат: среда изотропна. Это означает, что элементы тензора  должны сохранять свои значения при любом повороте координатной системы.

Изотропный тензор четвертого ранга является линейной комбинацией всех возможных произведений изотропных тензоров второго ранга:

,      (2.3.19)

где  – изотропный тензор четвертого ранга; a, b, c – постоянные;  – единичные тензоры второго ранга.

Элементы единичного тензора второго ранга равны:

                   (2.3.20)

Тензор , называемый также символом Кронекера, обладает свойством изотропности.

Подставляя выражение для  (2.3.19) в формулу (2.3.18), с учетом (2.3.20) получим

,

.                      (2.3.21)

Так как тензор скоростей деформации является симметричным тензором  (см. формулу (2.3.15)), то, обозначая  и , получим обобщенный закон Ньютона:

,           (2.3.22)

где  – коэффициент динамической вязкости.

Если в движущемся газе в каждой точке успевает установиться термодинамическое равновесие, то справедливо еще одно утверждение:

.                 (2.3.23)

Условие (2.3.23) позволяет из соотношения (2.3.22) получить значение :

                (2.3.24)

Таким образом, при заданном поле скоростей тензор вязких напряжений (2.3.22), (2.3.24) будет содержать лишь одну неизвестную – коэффициент динамической вязкости , который либо определяется из опыта, либо рассчитывается на основе молекулярно-кинетической теории газа.

Заметим, что обобщенный закон Ньютона в виде соотношений (2.3.22), (2.3.24) справедлив как для однокомпонентного газа, так и для смеси. Различие будет лишь в значениях .

 

Уравнение энергии

Введем ряд новых понятий, которые нам потребуются в процессе вывода уравнения энергии:

· E – полная энергия единицы массы газа:

,                       (2.4.1)

где u – внутренняя энергия единицы массы газа;  – кинетическая энергия единицы массы газа;

· H – полное теплосодержание (энтальпия) единицы массы газа:

,                       (2.4.2)

где  – теплосодержание (энтальпия) единицы массы газа;

·  – обобщенное полное теплосодержание (энтальпия) с учетом стандартной теплоты образования и теплоты фазовых и полиморфных превращений:

,                      (2.4.3)

где  – обобщенное теплосодержание (энтальпия) с учетом стандартной теплоты образования и теплоты фазовых и полиморфных превращений. Значение  для смеси газов определяется по соотношениям (1.2.40) – (1.2.43).

Сформулируем закон изменения полной энергии: изменение полной энергии некоторой массы газа, состоящей из одних и тех же жидких частиц, в единицу времени равно мощности всех внешних сил, действующих на выделенную массу газа, плюс количество тепла, которое получает данная масса газа от окружающей среды в единицу времени.

Изменение полной энергии в единицу времени (производная от полной энергии по времени) равно:

.      (2.4.4)

Силы, рассмотренные в подразд. 2.2, производят над выделенной массой газа в единицу времени следующую работу:

 – мощность сил давления;

 – мощность сил трения;

 – мощность массовых сил,

где точкой обозначено скалярное произведение, т.е., например,  – скалярное произведение векторов  и .

Тепло, поступающее от окружающей среды, складывается из тепла, поступающего через граничную поверхность , и тепла, излучаемого или поглощаемого выделенной массой газа.

Обозначим через  вектор потока тепла, проходящего через единичную площадку в единицу времени. Тогда через граничную поверхность  внутрь объема попадет количество тепла, равное:

,

где знак «-» показывает, что тепло поступает внутрь объема W,т.е. в сторону, обратную направлению внешней нормали .

Обозначим через  количество тепла, поступающего от окружающей среды к единице массы газа в единицу времени. В величину , в частности, может быть включена химическая энергия, выделяющаяся при прохождении химических реакций между компонентами смеси. Однако если вместо теплосодержания h использовать обобщенное теплосодержание , то , так как значение  не меняется при протекании химических реакций. Суммарное объемное поступление тепла от окружающей среды в единицу времени равно:

.

В соответствии с законом изменения энергии

(2.4.5)

Уравнение (2.4.5) представляет собой закон изменения энергии в интегральной форме.

В ряде случаев удобнее вместо полной энергии Е использовать полное теплосодержание H. Выполним следующие преобразования. Учтем, что в соответствии с формулами (2.4.1) и (2.4.2)

.                  (2.4.6)

Тогда

,                         (2.4.7)

.     (2.4.8)

Подставляя (2.4.7) и (2.4.8) в формулу (2.4.5), получим уравнение энергии в интегральной форме:

(2.4.9)

Если массовое выделение тепла  происходит только из-за химических реакций, то, вводя вместо полного теплосодержания H обобщенное полное теплосодержание , получим уравнение энергии для смеси:

(2.4.10)

В виде (2.4.10) уравнение энергии справедливо для течений газа как при наличии, так и при отсутствии химических реакций.

Получим интегральную форму записи уравнения энергии для турбулентной струи, истекающей в затопленное пространство или спутный поток.

Примем следующие допущения:

· массовые силы пренебрежимо малы;

· движение установившееся;

· параметры в окружающей среде постоянны;

· в струе выполняются условия для пограничного слоя: силы трения велики лишь на площадках с внешней нормалью, перпендикулярной оси; тепловые потоки существенны только в поперечном направлении.

Как и при выводе уравнения движения, выделим объем W, заключенный между сечением, проходящем через срез сопла, и любым другим сечением вниз по потоку. Тогда из формулы (2.4.10) следует интегральное соотношение: суммарный поток избыточного обобщенного теплосодержания сохраняется по длине струи:

,      (2.4.11)  

где  – обобщенное теплосодержание единицы массы газа окружающей среды.

Интегральное соотношение (2.4.11) справедливо для самых различных типов турбулентных струй: изотермических, неизотермических и струй с диффузионным факелом горения.

Перейдем к выводу уравнения энергии в дифференциальной форме в декартовой системе координат. Для этого разделим равенство (2.4.9) на элементарный объем с гранями, параллельными координатным плоскостям, и перейдем к пределу, стягивая объем в точку. В результате получим

. (2.4.12)

Преобразуем левую часть уравнения (2.4.12):

.

Так как в силу уравнения неразрывности

,                         (2.4.13)

а полная производная 

,                      (2.4.14)

то уравнение (2.4.12) приводится к виду

.  (2.4.15)

При расчете течений с физико-химическими превращениями в уравнении (2.4.15) следует полное теплосодержание H заменить на обобщенное полное теплосодержание , исключив в правой части слагаемое .

Тепловой поток  для однокомпонентной смеси определяется законом теплопроводности Фурье:

,                      (2.4.16)

где  – коэффициент теплопроводности.

Если газ представляет собой смесь, то появляется дополнительный перенос тепла, вызванный молекулярной диффузией. Введем среднемассовую скорость j -го компонента , определив ее как математическое ожидание скорости молекул j -го сорта. Тогда среднемассовая скорость жидкой частицы будет равна (см. формулу (2.1.3)):

; ,            (2.4.17)

где индексом j вверху обозначен номер компоненты (не путать с возведением в степень!).

Диффузионный поток j -го компонента

                       (2.4.18)

связан с тем, что средняя скорость j -й компоненты отличается от средней скорости смеси в целом. Переносимое тепло вследствие молекулярной диффузии определяется суммой произведений  – при смешении без химических реакций между компонентами либо в более общем виде  – если смешение может сопровождаться химическими реакциями.

С учетом молекулярной диффузии уравнение энергии для смеси запишем в виде

. (2.4.19)

Преобразуем уравнение энергии (2.4.15) к форме, используемой при формулировке первого закона термодинамики.

Раскроем производную

. (2.4.20)

Покажем, что

.                        (2.4.21)

Так как левые части выражений

       (2.4.22)

равны, то равны соответственно и правые части, что доказывает тождество (2.4.21).

Далее умножим уравнение движения (2.2.18) скалярно на скорость :

(2.4.23)

и подставим значения  в (2.4.20). Получим

. (2.4.24)

Заменив производную  в левой части (2.4.15) ее выражением с помощью равенства (2.4.24), получим

(2.4.25)

Подставляя в (2.4.25) значение полной производной

                      (2.4.26)

и раскрывая производную от произведения

,             (2.4.27)

после приведения подобных членов получим уравнение энергии в форме первого начала термодинамики:

. (2.4.28)

Входящая в правую часть уравнения энергии (2.4.28) диссипативная функция  всегда положительна или равна нулю. Это позволяет судить о направлении процесса и сформулировать второе начало термодинамики: в теплоизолированной системе энтропия S либо возрастает, либо остается постоянной .

Уравнение диффузии

Применим закон сохранения массы (см. раздел 2.1) к отдельно взятому j -му компоненту смеси. Учтем, что в химически активной смеси могут проходить реакции, приводящие к образованию или исчезновению j -го компонента.

Введем обозначения:

·  – масса j -го компонента, заключенного в момент времени t внутри произвольно выбранного объема W;

·  – масса j -го компонента, который образуется в единицу времени в единице объема вследствие химических реакций;

·  – масса j -го компоненты, который образуется в единицу времени внутри произвольно выбранного объема вследствие химических реакций.

Изменение массы j -го компонента смеси в единицу времени равно скорости образования j-го компонента в выделенной массе газа вследствие химических реакций:

.         (2.5.1)

Раскрывая производную по времени, получим

.      (2.5.2)

Скорость j -го компонента смеси может отличаться от скорости смеси в целом (см. формулу (2.1.3)). В результате возникает диффузия j -го компонента через граничную поверхность S. Скорость диффузии равна:

.                         (2.5.3)

Подставляя соотношение (2.5.3) для скорости диффузии j -го компонента в (2.5.2), получим

. (2.5.4)

Если ввести вектор потока диффузии j -го компонента  (см. (2.4.18)), то получим уравнение диффузии в интегральной форме:

.  (2.5.5)

При решении практических задач, связанных с движением смеси газов, удобнее пользоваться не размерными плотностями компонентов смеси , а безразмерными массовыми концентрациями . Заменяя в (2.5.5) значение  выражением , приведем уравнение диффузии к виду

. (2.5.6)

В тех случаях, когда смешение сопровождается равновесными химическими реакциями, следует уравнение диффузии записывать для концентраций химических элементов, поскольку, в отличие от веществ, концентрация элементов не меняется. Следовательно, скорость образования химических элементов равна нулю, и закон сохранения массы i -го элемента можно представить формулой

, (2.5.7)

где  – массовая доля i -го элемента в смеси,  – проекция на внешнюю нормаль вектора потока диффузии i -го химического элемента:

,                      (2.5.8)

 – математическое ожидание скорости i -го элемента.

Применим полученные уравнения диффузии в интегральной форме к турбулентной струе, истекающей в затопленное пространство или спутный поток на установившемся режиме. Помимо допущений, принятых в подразд. 2.2 и 2.4 при выводе интегральных соотношений движения и энергии, будем полагать, что:

· состав однороден на срезах сопл. Это позволяет одним параметром  – массовой долей в смеси вещества, истекающего из сопл двигателя, – определить с помощью формул (1.1.12), (1.1.14), (1.1.16) химический состав смеси;

· молекулярной диффузией по сравнению с турбулентной можно пренебречь, т.е.  и .

Тогда из (2.5.6) и (2.5.7) получим интегральное условие сохранения массы вещества, истекающего из двигателей:

.                  (2.5.9)

Выведем уравнение диффузии в дифференциальной форме в декартовой системе координат. Выделим параллелепипед с гранями, параллельными координатным плоскостям. Разделим (2.5.6) на объем этого параллелепипеда и перейдем к пределу, устремляя объем к нулю. В результате получим уравнение диффузии в дифференциальной форме:

.     (2.5.10)

Запишем это уравнение. Преобразуем левую часть (2.5.10):

. (2.5.11)

Так как, в силу уравнения неразрывности (см. (2.1.15))

,                      (2.5.12)

а полная производная

,                 (2.5.13)

то уравнение (2.5.10) приводится к виду

.        (2.5.14)

Диффузионный поток j -го компонента можно приближенно представить формулой

, (2.5.15)

где  – коэффициент диффузии, определяющий диффузионный поток при наличии только градиента концентрации компонентов смеси , а  и  –  коэффициенты термодиффузии и бародиффузии, которые определяют соответственно диффузионные потоки, возникающие вследствие градиентов температуры и давления, общих для всех компонентов смеси.

При расчете ламинарных пограничных слоев и ламинарных струй можно в формуле (2.5.15) пренебречь последним членом, поскольку в таких течениях поперечный градиент давления мал и, следовательно, влияние бародиффузии можно не учитывать.