Интерполяционный многочлен Лагранжа 6 страница

Основные вопросы: Понятие кусочно-непрерывного интерполяционного многочлена, сплайна. Степень, дефект сплайна. Сплайн-функция. Определение. Свойства. Построение интерполяционного сплайна третьего порядка.

Краткие теоретические сведения: При большом количестве узлов интерполяции сильно возрастает степень интерполируемых многочленов, что делает их не удобными для вычислений. Высокой степени многочлена можно избежать разбив отрезок интерполяции на несколько частей с последующим построением не каждой части самостоятельного интерполяционного многочлена, однако такое интерполирование имеет недостаток: в точках стыка разных интерполяционных многочленов будет разрывной их первая производная. В этом случае удобно использовать особый вид кусочно-полиномиальной интерполяции – интерполяция сплайнами.

Сплайн – это функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим полиномом.

Пусть – интерполируемый сплайн порядка m для функции заданной таблично

			…
			…

Если выполняются условия:

1. На каждом из отрезков – многочлен порядка m.

2. и ее производные до порядков включительно непрерывны на отрезке

3. , – непосредственное условие интерполирования

Общий вид сплайнов для функции :

, где – многочлен 3-ей степени

Для построения кубического сплайна необходимо построить n многочленов третьей степени, т.е. определить 4n неизвестных a_i, b_i, c_i, d_i. Эти коэффициенты ищутся из условий в узлах сетки:

В данной системе предполагается, что сплайны имеют нулевую кривизну на концах отрезка. В общем случае могут быть использованы и другие условия.

Если ввести обозначение h_i = x_i – x_i-1 и исключить из системы неизвестные a_i, b_i, d_i, то можно получить системы из (n – 1) линейных алгебраических уравнений относительно c_i, i = 2,…, n, с трехдиагональной матрицей:

Остальные коэффициенты сплайнов могут быть восстановлены по формулам

Примеры решения задач:

1. Построить кубический сплайн для функции, заданной в узлах интерполяции, предполагая, что сплайн имеет нулевую кривизну при x=x₀ и x=x₄; вычислить значение функции f(1.5).

 

i
xi fi	0,0 0,0	1,0 1,8415	2,0 2,9093	3,0 3,1411	4,0 3,2432

 

Решение. Запишем систему уравнений:

Решив данную систему, найдем c₂, c₃, c₄ и, воспользовавшись формулами, заполним таблицу.

i	[ xi-1, xi ]	ai	bi	ci	di
	[0, 1] [1, 2] [2, 3] [3, 4]	0,0 1,8415 2,9093 3,1411	1,9913 1,5418 0,56934 0,07978	0,0 – 0,44949 – 0,52299 0,03344	– 0,14983 – 0,02450 0,18548 – 0,01115

 

 

Имеем

Вычислим значение функции f (1,5). Точка x = 1,5 принадлежит отрезку [1, 2], на этом отрезке таблично заданная функция представляется кубическим сплайном:

Получаем f (1,5)=2,4969.

Порядок выполнения работы

1. Построить кубический сплайн для функции, заданной в узлах интерполяции, предполагая, что сплайн имеет нулевую кривизну при

х = х₀ и х = х₄. Вычислить значение функции в точке х = Х ^*.

 

Х *=1,5	х	1,0	1,0	2,0	3,0	4,0
у	0,0	0,5	0,86603	1,0	0,86603
Х *=1,5	х	0,0	1,0	2,0	3,0	4,0
у	1,0	0,86603	0,5	0,0	-0,5
3 Х *=1,5	х	0,0	0,9	1,8	2,7	3,6
у	0,0	0,36892	0,85408	0,7856	6,3138
Х *=1,5	х	0,0	0,9	1,8	2,7	3,6
у	0,0	0,72235	1,5609	2,8459	7,7275
5 Х *=1,5	х	0,0	1,0	2,0	3,0	4,0
у	1,0	1,5403	1,5839	2,01	3,3464
6 Х *=0,8	х	0,1	0,5	0,9	1,3	1,7
у	-2,2026	-0,19315	0,79464	1,5624	2,2306
7 Х *=1,5	х	0,0	1,0	2,0	3,0	5,0
у	0,0	0,2618	0,9069	1,5708	1,3090
8 Х *=0,8	х	0,1	0,5	0,9	1,3	1,7
у	10,1	2,5	2,0111	2,0692	2,2882
9 Х *=0,8	х	0,1	0,5	0,9	1,3	1,7
у	10,0	2,0	1,1111	0,76923	0,58824
	х	0,0	1,7	3,4	5,1	6,8
у	0,0	3,0038	5,3439	7,3583	9,4077

 

Контрольные вопросы

1. Как ставится задача построения интерполяционного сплайнатретьего порядка?

2. Как определяется степень сплайна?

3. Как обосновывается существование и единственность многочлена наилучшего приближения?

4. Как определить параметры интерполяционного сплайнатретьего порядка?

Практическое занятие № 14

Тема: «Линейное интерполирование»

Основные вопровы: Табличная функция. Задача интерполирования табличной функции. Теорема о единственности задачи полиноминального интерполирования. Конечные разности таблиц. Формула линейного интерполирования и способы оценки ее погрешности. Обратное линейное интерполирование.

Краткие теоретические сведения: Пусть имеется таблица значений функции f с постоянным шагом h > 0 и требуется по табличным данным найти f (х) при х, не совпадающем с табличным аргументами. Для этого обозначим через х ₀, х₁,(х ₀<х₁) два соседних табличных аргумента, между которыми находится х, через у₀, у₁ – соответствующие табличные значения, и из первой интерполяционной формулы Ньютона при n =1 получим

Это и есть формула линейного интерполирования.

Пусть вторая производная функции f непрерывна на . Тогда абсолютные погрешности приближений к значениям f (х) можно находить с помощью оценочной функции V₁:

или , где и .

В случае линейной интерполяции удобно пользоваться общей оценкой погрешностей для всех . Учитывая, что при , а также равенство

, для абсолютной погрешности функции на получим формулу

.

Следовательно,

.

При оценке погрешностей линейной интерполяции можно избавиться от вычисления и поиска числа М ₂. Для этого установим связь между и конечной разностью второго порядка. Учитывая, что производная непрерывная, то по теореме Лагранжа имеем

, где . Далее с помощью этой теоремы найдем выражение для второй разности через

,

где число .

В силу непрерывности на при малом шаге h с большей степенью точности можно считать, что для всех . Отсюда вытекает, что

или ,

а также . Полученные соотношения позволяют применять достаточно хорошую приближенную оценку:

.

Данная оценка позволяет вывести правило определения верных цифр непосредственно по таблице конечных разностей. Пусть к – номер разряда десятичной записи числа . Если разряд в целой части числа, то к>0, если в дробной, то к< 0. Цифра в к -м разряде верная, если .Это условие можно считать выполненным, как только окажется . Отсюда следует правило.

Правило. Если на каком-либо участке таблицы модули конечных разностей второго порядка имеют в к -м разряде не более четырех единиц, то у приближенных значений функции f, найденных с помощью линейного интерполирования для х из этого участка, цифры к -го разряда будут верными.

На практике часто приходится решать задачу: дано какое-то значение у функции f, не равное табличным значениям у_i, и необходимо найти соответствующий аргумент х. То есть нужно вычислить значение обратной по отношению к у = f (х) функции, обозначим ее .

Формула обратного линейного интерполирования

Для вычисления с ее помощью при заданном у выбираются два соседних табличных значения функции f, между которыми находится у, и предыдущее значение принимается за у₀, а последующее – за у₁.

Остаточный член формулы выглядит следующим образом:

,

где , у находится между у₀ и у₁.

Общая оценка погрешности формулы для всех у, находящихся между у₀ и у₁, обеспечивается неравенством

Примеры решения задач

1. Вычислить значение с помощью линейной интерполяции.

Решение. Возьмем х ₀=1,1, х ₁=1,2. Тогда у ₀=0,891, у ₁=0,9333, . Шаг таблицы h =0,1. Для определения точности воспользуемся всеми тремя полученными оценками. Цифры табличных значений функции будем считать верными.

Таблица 1

х
1,0	0,841	0,050	-0,008
1,1	0,891	0,042	-0,011
1,2	0,933	0,031
1,3	0,964

Поскольку для всех , берем М ₂=0,94.

.

Так как , следовательно

.

При х =1,11 будет t =0,1, поэтому .

Найдем искомые приближения:

.

Без учета вычислительных погрешностей числа а имеет верные цифры 8, 9 и 5.

Порядок выполнения работы

1. Найдите приближения и линейным интерполированием и исследуйте погрешность.

2. По таблице 1 обратным линейным интерполированием найдите и определите верные значащие цифры полученного приближенного значения.

Контрольные вопросы

1. Формулы линейного программирования и способы оценки ее погрешности.

2. Сформулирцйте правило пределения верных значащих цифр с помощью таблицы конечных разностей при линейном интерполировании.

3. Как вычисляются значения обратной для f функции для аргументов по формуле обратного линейного интерполирования.

Практическое занятие № 15

Тема: «Задача приближенного вычисления определенных интегралов»

Основные вопросы: Постановка задач численного интегрирования. Формула прямоугольников, вывод формулы. Вывод квадратурной формулы трапеций. Квадратурная формула Симпсона. Оценка погрешности.

Краткие теоретические сведения:Пусть задана функция f (x) в виде таблицы

x	x0	x1	…….	xn
f(x)	y0	y1	…….	yn

 

Найти интеграл от этой функции, т.е.

, ,

Эту задачу будем решать методом численного интегрирования путём замены под интегральный функции её интерполяционным многочленом, и найдём приближённое значение этого интеграла.

Используем интерполяционный многочлен степени n=1.

Вывод квадратурной формулы трапеции для линейной функции:

x0	x1
y0	y1

постоянный шаг

 

- квадратурная формула трапеции

– общая квадратурная формула трапеции

Оценка погрешности

, n=2 и

Квадратурная формула Симпсона (или парабола)

 

– квадратурная формула Симпсона (параболы)

 

Выведем общую формулу Симпсона

, n -чётное

– Общая квадратурная формула Симпсона

Оценка погрешности

, где

 

Примеры решения задач

1. Вычислить интеграл от функции на отрезке по формулам трапеций и Симпсона при делении отрезка на 6 равных частей. Оценить погрешность методом интегрирования.

Решение: Найдем по формуле , и составим таблицу значений функции в точках , т. е.

 

x		2,2	2,4	2,6	2,8	3,0	3,2
	3,22732	3,16704	3,11726	3,07625	3,04272	3,01568	2,99429

 

Общая формула трапеций принимает вид:

Проведем вычисления:

Т.к. число четное, то можно применить метод Симпсона

Проведем вычисления

Ответ: 3,70595; 3,70516

 

Порядок выполнения работы

1. Вычислить интеграл , приняв шаг интегрирования , с помощью:

1) формул прямоугольника;

2) формулы трапеций;

3) формулы Симпсона;

4) сравнить полученные результаты с точным решением (найти его самостоятельно), определить абсолютную и относительную по­грешности каждого метода.

Контрольные вопросы

1. Формулы прямоугольников, погрешность формул прямоугольников.

2. Формула трапеций, погрешность метода трапеций.

3. Формула Симпсона, погрешность метода Симпсона.

 

Практическое занятие № 16.

Тема: «Численное дифференцирование»

Основные вопровы: Постановка задачи численного дифференцирования. Формулы численного дифференцирования на основе интерполяционного многочлена Ньютона. Безразностные формулы численного дифференцирования для равноотстоящих узлов. Применение ряда Тейлора для численного дифференцирования.

Краткие теоретические сведения: Пусть задана таблица значений функций с равноотстоящими узлами и шагом h:

 

 

x	x0	x1	…	xn
f(x)	y0	y1	…	yn

 

где x_i=x₀+ih, i=1,2,…,n. Для нахождения значения производной функции в промежуточной точке, расположенной ближе к началу таблицы, функцию f(x) заменяют приближенно первым интерполяционным многочленом Ньютона:

где (заметим, что в качестве x₀ выбирается ближайший к точке x слева узел интерполяции). Продифференцировав приближенное равенство по переменной t, получим приближенную формулу для вычисления производной таблично заданной функции в промежуточной точке:

Для вычисления производной в точке, расположенной ближе к концу таблицы, следует использовать второй интерполяционный многочлен Ньютона. Применяя тот же прием, получим:

Примеры решения задач

Вычислить значение производной в точке x=0,12 функции, заданной таблично, используя интерполяционные формулы Ньютона. Найти значение производной функции в точке x из её аналитического выражения и вычислить абсолютную погрешность.

Решение:

 

x	0,05	0,15	0,25	0,35	0,45	0,55	0,65
	0,9968	0,9888	0,9689	0,9394	0,9004	0,8525	0,7961

 

Составим таблицу конечных результатов

 

i
	0,05	0,9988	-0,01	-0,0099	0,0003	-0,0002
	0,15	0,9888	-0,0199	-0,0096	0,0001	0,0005
	0,25	0,9689	-0,0295	-0,0095	0,0006	-0,0002
	0,35	0,9394	-0,039	-0,0089	0,0004
	0,45	0,9004	-0,0479	-0,0085
	0,55	0,8525	-0,0564
	0,65	0,7961