Задачи для контрольных заданий

 

1–10. Найти общее решение (или общий интеграл) данных дифференциальных уравнений первого порядка:

 

1. а)

2 ху ¢ + у 2 = 1;

æ y ö

б) ху ¢ = у ln ç ÷;

è x ø

в) ху ¢ = x - у + 1.

 

 

2. а)

y 2 у ¢ + 2 x = 1 + x 2;

 

б) ху ¢ - у =

 

х 2 + у 2;

 

в) (1 - х 2) у ¢ - 2 xу = 1 + x 2.

 

 

3. а)

 

б)

в)

у ¢ + xу = xу 2;

у 2 - 4 ху + 4 х 2 у ¢ = 0;

х (х - 1) у ¢ + 2 xу = 1.

 

 

4. а)

х 2 у ¢ + у 2 = 1;

 

б) у ¢ =

 

у + 6 у

х 2 х

 

+ 6;

 

в)

 

5. а)

у ¢ - 3 у = х.

х

ху ¢ + у = у 2;

 

б) у ¢ =

у - 2 х;

х + у

 

в) ху ¢ -

у

х + 1

 

= х.

 

6. а)

 

б)

у ¢ - ху 2 = 2 ху;

у ¢ = х + у;

у х

в) у ¢ - у = (2 х - 3) ех.

 

7. а)

ху ¢ + у - 3 = 0;

 

б) у ¢ =

у - 3 х;

х + 3 у

в) 2 ху ¢ - у = 3 х 2.

 

 

8. а)

 

б)

 

в)

 

 

9. а)

 

 

б)

у ¢ = 3 х 2 у - х 2;

у

ху ¢ + хе х - у = 0;

х 2 у ¢ - 2 ху = 3.

 

 

уу ¢ = 1 - 2 х;

ху

х 2 у ¢ + у 2 - 2 ху = 0;

 

в) у ¢ - у tg x =

1.

cos х

10. а)

 

б)

(1 + х 2) у ¢ = ху + xy 2;

х 2 у ¢ = у 2 + ху;

 

в) у ¢ + 2

у = х 2 + 2 х.

х

 

11–20. Найти частное решение данного дифференциально- го уравнения первого порядка, удовлетворяющее данному на- чальному условию:

 

11.

ху ¢ - 2

ху = у,

4

у (1) = 1.

12.

 

13.

у ¢ + 4 х 3 у = х 3 е - х × у 2,

 

уу ¢ + у 2ctg x = cos x,

у (0) = 8.

у ç π ÷ = 1.

æ ö

 

 

14.

 

 

2 ху ¢ - у =

 

3 x 2

,

y

è 2 ø

 

у (1) = 2.

 

15.

х 2 у ¢ - 2 xy = у 2,

 

у (1) = -1.

 

16.

ху ¢ - 4 у = х 2 у,

 

у (1) = 1.

 

17.

 

2 ху ¢ - 3 у = -(20 х 2 + 12) у 3,

у (1) = 1.

2 2

 

18.

у ¢ - у tg x + у 2 cos x = 0,

 

у (0) = 1.

 

19.

2 ху ¢ - у = - 1,

хy

х 2

у (2) = 1.

2

20.

у ¢ + ху = 2 xе- 2

у 2,

у (0) = 1.

 

21 – 23. Найти общее решение дифференциального урав- нения второго порядка:

21.

 

22.

 

23.

24.

 

25.

 

26.

(1 + у) у ¢ - 5 × (у ¢)2 = 0.

(1 - х 2) у ¢ = ху ¢.

у ¢ × tg y = 2(у ¢)2.

ху ¢ + y ¢ = х + 1.

(у ¢)2 + 2 у × y ¢ = 0.

ху ¢ - y ¢ + 1 = 0.

х

 

27.

 

у ¢ = -2

у ¢ + х 2.

х

28.

 

29.

 

30.

1 + (у ¢)2 + у × y ¢ = 0.

х 4 у ¢ + х 3 y ¢ = 4.

(х 2 + 1 )у ¢ + 2 хy ¢ = х 3.

 

31-40. Найти частное решение дифференциального урав- нения второго порядка с постоянными коэффициентами с пра- вой частью специального вида, удовлетворяющее данным на- чальным условиям:

 

31.

 

32.

33.

34.

 

35.

 

36.

 

 

37.

у ¢ - 4 у ¢ + 13 у = 26 х 2 - 3 х,

у ¢ + 2 у ¢ = -2 ех (sin x + cos x),

у ¢ + 5 у ¢ + 6 у = 12 cos 2 х,

у ¢ + 4 у ¢ - 12 у = 8 sin 2 х,

у ¢ + у ¢ - 2 у = ex (2 х + 2),

 

у ¢ - 5 у ¢ = 15 х 2 + 4 х,

 

 

у ¢ - 4 у ¢ + 5 у = ex × х,

у (0) = 1,

 

у (0) = 0,

у (0) = 1,

у (0) = 0,

 

у (0) = 2,

 

у (0) = 1,

 

у (0) = 1,

у ¢(0) = 0.

у ¢(0) = 0.

у ¢(0) = 3.

у ¢(0) = 0.

у ¢(0) = -1.

у ¢(0) = - 2.

 

у ¢(0) = 0.

38.

 

39.

 

40.

у ¢ - 2 у ¢ + у = e 2 x (х - 1),

у ¢ + 2 у ¢ + 5 у = 10 х 2 - 7 х + 8,

у ¢ - 4 у ¢ + 3 у = 2 ex,

у (0) = -2,

 

у (0) = 0,

 

у (0) = 2,

у ¢(0) = 0.

у ¢(0) = 0.

у ¢(0) = 1.

 

41–50. Найти общее решение системы линейных диффе- ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами путем сведения ее к одному уравнению второго порядка:

 

 

 

41.

ì dx = 4 x + 6 y,

ï dt

í dy

 

 

42.

ì dx = -5 x - 4 y,

ï dt

í dy

ï

î dt

= 4 x + 2 y.

ï

î dt

= -2 x - 3 y.

 

 

 

43.

ì dx = 3 x + y,

ï dt

í dy

 

 

44.

ì dx = 6 x + 3 y,

ï dt

í dy

ï

î dt

= 8 x + y.

ï

î dt

= -8 x - 5 y.

 

 

 

45.

ì dx = - x + 5 y,

ï dt

í dy

 

 

46.

ì dx = 3 x - 2 y,

ï dt

í dy

ï

î dt

= x + 3 y.

ï

î dt

= 2 x + 8 y.

 

 

47.

ì dx = -4 x - 6 y,

ï dt

í dy

 

 

48.

ì dx = -5 x - 8 y,

ï dt

í dy

ï

î dt

= -4 x - 2 y.

ï

î dt

= -3 x - 3 y.

 

 

 

49.

ì dx = - x - 5 y,

ï dt

í dy

 

 

50.

ì dx = -7 x + 5 y,

ï dt

í dy

ï

î dt

= -7 x - 3 y.

ï

î dt

= 4 x - 8 y.