Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

 

2.1. Уравнение вида

P (х) dx + Q (y) dy = 0

называется уравнением с разделенными переменными.

Важно: при dx стоит функция, зависящая только от х,

при dy – зависящая только от у. Общий интеграл такого уравнения

ò Р (х) dx + ò Q (y) dy = c.

2.2. Дифференциальное уравнение вида

у ¢ =

f (х, y)

называется уравнением с разделяющимися переменными, если функция

f (х, y)

допускает представление в виде произведения двух функций,

каждая из которых зависит только от одной переменной, т. е.

у ¢ =

f 1(x) × f 2 (y).

Для решения уравнения нужно разделить переменные следующим образом: сначала представить производную у ¢ в ви- де отношения дифференциалов

dy

у ¢ = =

dx

f 1(x) × f 2 (y),

затем умножить обе части равенства на dx и разделить на В результате получим

f 2 (y).

dy =

f 2 (у)

 

f 1(x) × dx -

уравнение с разделенными переменными.

2.3. Уравнение вида

P (х, у) dx + Q (х, y) dy = 0

называется уравнением с разделяющимися переменными, если

обе функции -

P (х, у)

и Q (х, y) допускают такое же представ-

ление в виде произведения двух сомножителей, каждый из ко- торых зависит только от одной переменной:

Р 1(x) P 2 (y) dx + Q 1(x) Q 2 (y) dy = 0.

Разделение переменных приводит к такому уравнению:

P 1(x) dx + Q 2 (y) dy = 0,

Q 1(x)

которое затем интегрируется.

P 2 (у)

Следует заметить, что в процессе разделения переменных

при делении обеих частей уравнения на выражение, содержа- щее неизвестные х и у, могут быть потеряны решения, обра- щающие это выражение в нуль.