Ograve; ò x

dx

ò ò

÷

ç

è x ø

y 2 x 2

ò у dy = ò x

+ ò x dx,

= ln 2

x + + c,

2

y 2 - x 2

2

 

= ln

 

x + c.

Мы получили соотношение между х, у и произвольной

постоянной с, которое называется общим интегралом.

 

в) Разрешим уравнение относительно производной у:

у ¢ = - 4 х - 3 у

2 у - 3 х

 

или

у ¢ = 4 х - 3 у. (1)

3 х - 2 у

Правая часть этого уравнения

f (x, у) = 4 x - 3 y

3 x - 2 y

является однородной функцией нулевого порядка относительно своих аргументов, так как удовлетворяет следующему условию:

 

 

В самом деле,

f (tx, ty) =

f (x, y).

f (tx, ty) = 4( tx )-3( ty )

3(tx) - 2(ty)

= t (4 x -3 y ) t (3 x - 2 y)

= 4 x -3 y =

3 x - 2 y

 

f (x, y).

Отсюда следует, что уравнение (1) является однородным. Од-

нородное уравнение решают подстановкой Найдем у ¢ и подставим в уравнение (1):

y ¢ = u ¢ × x + u,

u = y x

 

или

 

y = u × x.

u ¢ × x + u = 4 x - 3 ux,

3 x - 2 ux

u ¢ × x = 4-3 u - u,

3 - 2 u

u ¢ × x + u = x (4 - 3 u),

x (3 - 2 u)

u ¢ × x = 4-3 u - u (3-2 u ),

3 - 2 u

 

u ¢ × x = 2 u -6 u +4.

3 - 2 u

Получившееся уравнение оказывается уравнением с разделяю- щимися переменными. Разделяем переменные:

du 2 u 2 -6 u +4

x =,

(3 - 2 u) du

 

= dx,

dx 3 - 2 u

2 u 2 - 6 u + 4 x

после чего интегрируем:

 

ò

 

 

3 - 2 u

 

 

dx

du = ò,

2 u 2 - 6 u + 4 x

1

- 2 ò

4 u - 6 du

2 u 2 - 6 u + 4

= - 1 ò

d (2 u -6 u +4) =

2 u 2 - 6 u + 4

= - 1 ln 2 u 2 2

dx

- 6 u + 4 + c 1, ò x

= ln

x + c 1.

Получаем общий интеграл:

- 1 ln 2 u 2 - 6 u + 4 = ln 2

x + ln c, где

ln c = c 2

– c 1.

После потенцирования общий интеграл примет вид

2 u 2 - 6 u + 4 =

1.

c 2 x 2

Вернемся к старой функции у, подставив вместо u у:

х

æ у ö2 у

1

2 ç ÷ - 6

+ 4 =

è х ø х

с 2 х 2

или

2 у 2 - 6 ху + 4 х 2 = 1.

с 2

с) В данное уравнение неизвестная функция у и ее произ-

водная у ¢ входят в первой степени. Отсюда следует вывод: уравнение является линейным. Будем искать решение линейно- го уравнения в виде произведения двух пока неизвестных

функций u (x) и v (x), т. е.

у = u × v. Найдем производную

у ¢ = u ¢ × v + u × v ¢

и подставим в уравнение (2):

x (u ¢ × v + u × v ¢) + 2 u × v = x 2,

x × u ¢ × v + x × u × v ¢ + 2 u × v = x 2,

x × u ¢ × v + (x × u × v ¢ + 2 u × v) = x 2,

x × u ¢ × v + u (x × v ¢ + 2 v) = x 2.

Для нахождения функции v (x) положим:

x × v ¢ + 2 v = 0.

Найдем частное решение (для этого положим с = 0) этого

уравнения с разделяющимися переменными:

x dv = -2 v,

dv = -2 dx,

dx v x

dv dx 1

ò v = -2 ò x,

ln v = -2 ln x,

v =.

x 2

Для нахождения другой функции u (x) у нас получается

уравнение:

x × u ¢ × v = x 2,

x × u ¢ 1

x 2

= x 2,

u ¢ = x 3,

du = x 3, dx

du = x 3 dx, ò du = ò x 3 dx,

u = x

+ c.

Общее решение данного уравнения (2) будет иметь вид

æ x 4

ö 1 x 2 c

y = u × v = ç + c ÷ = +.

x

ç ÷ 2

è ø

4 x 2

Задача 2. Найти частное решение дифференциального уравнения

2 х × у ¢ - у =

3 х 2

,

у

удовлетворяющее начальному условию

у (1) = 2.

Решение: Уравнение Бернулли имеет вид

у ¢ + р (х) у = q (x) yn,

n ¹ 0,

n ¹ 1.

Данное уравнение можно записать в виде

у ¢ - у

2 х

= 3 х

2 х

у -1,

поэтому делаем вывод: данное уравнение является уравнением

Бернулли. Его можно решать тем же методом, что и линейное

уравнение. Будем искать общее решение в виде

у ¢ = u ¢ × v + u × v ¢,

у = u × v:

u ¢ × v + u × v ¢ - u × v =

2 x

æ ö

3 x,

2 u × v

3

u ¢ × v + u ç v ¢ -

v ÷ = x,

è 2 x ø

2 u × v

v ¢ - v

 

= 0,

d v = dx, ò d v = 1 ò dx,

2 x v 2 x

v 2 x

ln v = 1 ln x,

 

v = x

 

– одну функцию нашли.

 

u ¢ ×

x = 3 x,

2 u × x

du = 3,

dx 2 u

2 u du = 3 dx, ò 2 u du = ò 3 dx,

u 2 = 3 x + c

 

или

u = 3 x + c.

Общее решение уравнения примет вид

 

y = u × v =

 

3 x + c × x =

 

3 x 2 + cx.

Чтобы найти частное решение уравнения, нужно найти значение константы с. Для ее нахождения подставим в общее решение х = 1 и у = 2:

2 = 3×1 + с ×1 =

3 + с,

4 = 3 + с, с = 1.

Подставив в общее решение значение с = 1, получаем ча-

 

стное решение у =

 

3 х 2 + х.

 

Задача 3. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

 

Решение:

у ¢ + 1

х

 

у ¢ = х 2.

В данном уравнении второго порядка отсутствует в явном

виде сама функция у. Это уравнение допускает понижение по-

рядка, для чего надо сделать замену уравнение примет вид

у ¢ = z (x). Тогда

у ¢ = z ¢ и

z ¢ + 1 z = х 2. (3)

х

Уравнение (3) оказывается линейным уравнением первого

порядка относительно функции z (x) и решается следующим об- разом:

z = u × v,

u ¢ × v + u × v ¢ + u × v = x 2,

z ¢ = u ¢ × v + u × v ¢,

u ¢ × v + u ç v ¢ + v ÷ = x,

 

v ¢ + v = 0,

æ ö

x è x ø 2

dv = - dx, ò dv = -ò dx,

x

 

ln v = - ln x,

v x v x

v = 1;

x

u ¢ 1 = x 2,

x

du = x 3 dx, ò du = ò x 3 dx,

u = x

4

 

+ c 1.

Общее решение уравнения (3) примет вид

1 æ x 4

z = u × v = ç

ö x 3

+ c ÷ =

 

x

+ c 1.

è

ø

x ç 4 1 ÷

 

В начале решения была сделана замена

y ¢ = z. Следовательно,

y ¢ = x

+ c 1.

4 x

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, по-

лучаем

 

æ x 3 dy = ç

c ö

+ 1 ÷ dx,

x

ç ÷

è ø

æ 3 ö

ç 4

ò dy = ò ç x

è

+ c 1 ÷ dx,

x

÷

ø

x 4

y = + c 1 ln x + c 2 - общее решение данного уравнения.

 

Задача 4. Найти частное решение уравнения

у ¢ + 4 у ¢ = х 2 + 5 х,

удовлетворяющее начальным условиям

у (0) = 1,

у ¢(0) = 0.

 

Решение:

Данное уравнение является линейным дифференциальным

уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами с

правой частью специального вида

f (x) = Pn (x), где

Pn (x) -

многочлен степени n. Общее решение такого уравнения скла- дывается из общего решения однородного уравнения (правая часть равна нулю) и какого-либо частного решения неоднород- ного уравнения.

Решим сначала однородное уравнение

у ¢ + 4 у ¢ = 0.

Составляем характеристическое уравнение

k 2 + 4 k = 0,

корнями которого будут

k 1 = 0

и k 2 = -4.

Соответственно этим корням находим частные решения

y 1 = e

k 1 x

= e o x = 1 и

y 2 = e

k 2 x

= e -4 x

и общее решение, которое представляет собой линейную ком- бинацию найденных частных решений:

y = c y

+ c y

= c ×1 + c e -4 x.

o.o

1 1 2 2 1 2

Теперь надо найти частное решение неоднородного уравнения.

Пользуясь таблицей, мы будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

у ч.н

= (Ах 2 + Вх + С) х,

так как правая часть f (x) уравнения представляет собой много- член второй степени, а число 0 является корнем характеристи- ческого уравнения с кратностью s = 1.

Нам остается найти неизвестные пока коэффициенты А, В, С. Для этого найдем первую и вторую производные от у ч.н и подставим найденные выражения в данное неоднородное урав- нение:

у ч.н

= Ах 3 + Вх 2 + Сх,

у ¢ = 3 Ах 2 + 2 Вх + С,

у ¢ = 6 Ах + 2 В,

 

6 Ах + 2 В + 4(3 Ах 2 + 2 Вх + С) = х 2 + 5 х,

 

12 Ах 2 + (6 А + 8 В) х + (2 В + 4 С) = х 2 + 5 х.

Из полученного равенства двух многочленов следует ра- венство коэффициентов при одинаковых степенях х в левой и правой частях:

ïì12 А = 1;

í6 А + 8 В = 5;

ïî2 В + 4 С = 0.

Решением системы являются:

А = 1,

В = 9,

16

С = - 9.

32

Значит, частное решение имеет вид

 

у ч.н

= 1 х 3 + 9

12 16

 

х 2 -

9 х,

32

а общее решение есть

 

у о.н

 

= у о.о

 

+ у ч.н

 

= с 1

+ с е - 4 х + 1

12

х 3 + 9

16

 

х 2 -

9 х.

32

Найдем значения постоянных с 1 и с 2. Для этого сначала продифференцируем полученное общее решение:

у ¢ = -4 с е - 4 х + 1 х 2 + 9 х - 9.

2 4 8 32

Теперь подставим

х = 0

в выражения для у и у ¢:

у (0) = с 1 + с 2 = 1,

у ¢ (0) = -4с2 -

Решим систему:

 

= 0.

ïì с 1 + с 2 = 1,

í- 4 с

- 9 = 0.

 

Найденные

ïî

с = 137

1 128

 

 

и с 2

= - 9

 

подставим в общее ре-

137 - 9 е - 4 х + 1 х 3 + 9   х 2 -   128 128   12 16

шение и получим частное решение:

 

у = х.

 

 

Задача 5. Найти общее решение системы линейных диф- ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами пу- тем сведения ее к одному уравнению второго порядка:

ì dx

ï dt

í dy

ï

î dt

= 4 x + 2 y,

 

= - x + y.

Решение:

Продифференцируем обе части первого уравнения по пе-

ременной t:

ö

æ dx ¢

ç ÷ = (4 x + 2 y)¢

или

x ¢ = 4 x ¢ + 2 y ¢.

è dt ø

Чтобы получить дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции х (t), подставим вместо у ¢ ее вы- ражение из второго уравнения системы:

x ¢ = 4 x ¢ + 2(- х + y)

или

x ¢ = 4 x ¢ - 2 х + 2 y. (5)

Из первого уравнения системы найдем 2 у:

2 у = х ¢ - 4 х

и подставим в уравнение (5):

x ¢ = 4 x ¢ - 2 х + х ¢ - 4 х

или

x ¢ - 5 х ¢ + 6 х = 0.

Полученное уравнение является линейным однородным

уравнением с постоянными коэффициентами. Находим корни соответствующего характеристического уравнения

2 t

3 t

k 2 - 5 k + 6 = 0,

k 1 = 2,

k 2 = 3. Тогда

x 1 = e

и x 2 = e,

а x = c 1

· x 1

+ c 2

· x 2

= c 1

· e 2 t + c 2

· e 3 t.

Одна из неизвестных функций х (t) найдена. Для нахожде-

ния второй функции у (t) воспользуемся соотношением, полу-

ченным ранее:

у = х ¢-4 х.

Тогда

x ¢ = 2 c 1

· e 2 t + 3 c

· e 3 t,

x ¢ - 4х = 2 c 1

· e 2 t + 3 c 2

· e 3 t - 4 c

· e 2 t - 4 c

· e 3 t = -2 c

· e 2 t - c

· e 3 t,

 

y = - c

· e 2 t - 1 c

 

·

e 3 t.

1 2 2

Общее решение данной системы имеет вид

ì x = c

· e 2 t + c

· e 3 t,

ï 1

í 2 t

1 3 t

ïî y = - c 1 × e

- c 2 × e.