Дифференциальные уравнения второго порядка

Основные понятия

 

5.1. Дифференциальным уравнением второго порядка на- зывается соотношение, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию у (х) и ее первую и вторую производ- ные. Оно имеет вид

F (x, y, y ¢, y ¢) = 0

или, если оно разрешимо относительно у ²,

y ¢ =

f (x, y, y ¢). (5.1)

5.2. Общим решением дифференциального уравнения вто- рого порядка называется функция

у = j(х, с 1, с 2),

содержащая две произвольные постоянные с 1 и с 2 такие, что если заданы начальные условия

у (х 0) = у 0 и

~

у ¢(х 0) = у 0¢,

~

то найдутся такие значения

с 1 и

с 2, что функция

у = j(х, ~ с, с ~)

1 2

будет являться решением данного дифференциального уравне- ния, удовлетворяющим этим начальным условиям.

5.3. Любое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных с 1 и с 2, назы- вается частным решением дифференциального уравнения.

5.4. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (5.1) формулируется так:

Если функция

f (x, y, y ¢)

и ее частные производные по у

и у ¢ непрерывны в некоторой области, содержащей

х = х 0,

у = у 0,

у ¢ = у 0¢, то существует единственное решение

у = у (х),

удовлетворяющее условиям

у (х 0) = у 0,

 

у ¢(х 0) = у 0¢.

5.5. Типы дифференциального уравнения второго порядка,

допускающие понижение порядка.

I тип. Уравнение имеет вид

у ¢ =

f (x).

Общее решение находится путем двукратного интегрирования следующим образом:

у ¢ = dy ¢,

dx

 

y ¢ = ò f (x) dx + c 1,

у ¢ = dy,

 

y = ò (ò f (x) dx) dx + c x + c.

dx 1 2

II тип. Уравнение не содержит явным образом искомой функции у (х):

у ¢ =

f (x, y ¢).

Порядок уравнения понижается на единицу

заменой

у ¢ = z (x). Так как

у ¢ = z ¢, то получим

уравнение первого порядка относительно z (х):

z ¢ =

f (x, z).

III тип. Уравнение не содержит явным образом независимой переменной х:

у ¢ =

f (у, y ¢).

Порядок уравнения понижается на единицу

с помощью подстановки

у ¢ = z (у). В этом случае

у ¢ = dz

dy = dz z, и уравнение примет вид

dy dx

dy

z dz =

dy

 

 

f (y, z).