Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в

Анализе факторов

 

Вычисляя общую дисперсию изучаемого признака в пределах совокупности, мы не можем оценить влияние отдельных факторов, определяющих вариацию индивидуальных значений (вариант) признака. Это можно сделать лишь при помощи группировок, подразделив изучаемую совокупность на группы, однородные по признаку-фактору. В статистике, используя метод группировок, определяют три показателя вариации признака в совокупности в виде трех различных дисперсий:

– общей (генеральной) дисперсии;

– межгрупповой (факторной) дисперсии;

– средней внутригрупповых дисперсий (остаточной дисперсии).

Общая дисперсия характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий (факторов) в данной совокупности, и исчисляется по формуле

 

 

где – средняя величина изучаемого признака для всей совокупности.

Межгрупповая (факторная) дисперсия отражает вариацию изучаемого признака которая возникает под влиянием признака-фактора , положенного в основание группировки. Она характеризует вариацию групповых средних около общей средней и вычисляется по формуле

 

 

где – численность отдельных групп; – средние групповые значения признака.

Средняя внутригрупповых дисперсий (остаточная дисперсия) характеризует случайную, не обусловленную признаком-фактором, вариацию. Эта вариация возникает под влиянием других, не учитываемых факторов, и не зависит от признака-фактора , положенного в основание группировки. Она определяется по формуле

 

,

 

где – дисперсия изучаемого признака в каждой отдельной группе.

В математической статистике доказывается правило сложения дисперсий, которое говорит, что общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповых дисперсий. Оно записывается в виде формулы

 

 

Это правило (закон) сложения дисперсий имеет большую практическую значимость, так как позволяет выявить зависимость вариации от определяющих её факторов при помощи соотношения межгрупповой и общей дисперсии

 

 

Последнее соотношение называется коэффициентом детерминации и определяет процент различий (отклонений) в совокупности, обусловленный признаком-фактором, выбранным для группировки в качестве основного.

Пример.При исследовании производительности труда (признак ) совокупности рабочих на предприятии была проведена группировка рабочих по размеру заработной платы (признак ). В результате статистической обработки данных и расчётов коэффициент детерминации (по признаку ) оказался равным Это означает, что различия в производительности труда отдельных рабочих лишь на 43% обусловлено фактором заработной платы и, следовательно, на 57 % – прочими факторами (условиями).

В статистике наряду с дисперсией количественного признака определяется дисперсия альтернативного признака. Альтернативными являются признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие. Формула расчёта дисперсии альтернативного признака имеет вид

 

 

где доля вариант, обладающих определенным значением признака.

 

Контрольные вопросы

 

1. Что представляет собой вариация признака?

2. Какие показатели относят к абсолютным показателям вариации?

3. Что собой представляют относительные показатели вариации?

4. Назовите варианты расчета среднего линейного отклонения, дисперсии и среднеквадратического отклонения.

5. Как рассчитывается дисперсия и среднеквадратическое отклонение с использованием второго и первого начальных моментов?

6. Приведите формулы расчета коэффициентов осцилляции, среднего линейного отклонения и вариации.

6. Как рассчитывается дисперсия доли (альтернативного признака)?

7. Сформулируйте общее правило сложения дисперсий и объясните, что характеризует межгрупповая и средняя внутригрупповых дисперсий.

8. Как рассчитывается коэффициент детерминации? Поясните смысл этого коэффициента.

Задачи

1. Имеются данные об объемах закупок скота и птицы (в живом весе, тыс. т):

Номер хозяйства
Объемы закупок

Определите показатели вариации объемов закупок скота и птицы.

2. На основе данных о распределении посевной площади озимой пшеницы по урожайности произвести расчет дисперсий, используя правило их сложения:

Расчетные данные по всей совокупности участков:

 

Номер участка	Урожайность, ц/га (x)	Посевная площадь, га (f)	xf	x2	x2 f
					32 000
					24 200
					12 500
					39 200
					90 000
					98 000
					72 200
					112 000
Итого	-		15 100	-	480 100

3. На основе данных о распределении деталей по затратам времени на их изготовление вычислить абсолютные и относительные показатели вариации

Затраты времени на производство деталей, мин	Количество деталей, шт. (f)	Середина интервала (x)	xf		f	2	2f	x2	x2 f
До 10				-4,2		17,64	176,4
10-12				-2,2		4,84	48,4
12-14				-0,2		0,04	2,0
14-16				1,8		3,24	64,8
16 и выше				3,8		14,44	144,4
Итого		-		-		-	436,0	-