Средние величины, их сущность и их виды

В процессе обработки и обобщения статистических данных существует необходимость определения средних величин. Каждая однородная статистическая совокупность состоит из достаточно большого числа единиц, которые отличаются размерами количественных признаков. Вместе с тем, каждая единица совокупности по определению несет черты, свойственные всей совокупности. Расчёт средних величин позволяет выявить типичный уровень признаков и черт изучаемой совокупности.

Средними величинами называются обобщающие показатели, характеризующие типичный уровень варьирующего признака в расчёте на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Правильное понимание сущности средней величины определяет её особую значимость в условиях рыночной экономики, когда среднее через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития. В условиях реальной экономической, в том числе коммерческой, деятельности постоянные причины (факторы) действуют одинаково на каждое изучаемое явление и именно они делают эти явления похожими друг на друга и создают общие для всех закономерности. Результатом учения об общих и индивидуальных причинах явлений стало выделение средних величин в качестве основного приёма статистического анализа, базирующегося на утверждении, что статистические средние величины представляют собой не просто меру математического измерения, а категорию объективной действительности. В статистической теории типическая реально существующая средняя величина отожествляется с истинной для данной совокупности величиной, отклонения от которой могут быть только случайными.

Например, выработка конкретного продавца супермаркета зависит от многих факторов (квалификации, стажа, возраста, формы обслуживания, воспитания, здоровья и др.), а средняя выработка продавца отражает общее типичное свойство всей совокупности продавцов данного супермаркета. Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.

Таким образом, средние величины – обобщающие показатели, в которых находит выражение действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

В практике статистической обработки данных возникают различные задачи, имеются особенности изучаемых явлений, и поэтому для их решения требуются различные средние.

По уровню обобществления данных изучаемой совокупности средние могут быть общими и групповыми. Средняя величина, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей, а средние, исчисленные для каждой группы – групповыми.

В теории различают две группы средних величин – степенные и структурныесредние.

Средние степенные выводятся из общей формулы степенной средней вида:

 

 

С изменением показателя степени приходим к определенному виду средней:

– средняя гармоническая;

– средняя геометрическая;

– средняя арифметическая;

– среднеквадратическая.

Вопрос о том, какой вид средней необходимо применять в отдельном случае, решается путём конкретного анализа изучаемой совокупности, материальным содержанием изучаемого явления, осмыслением результатов осреднения. Только тогда средняя величина применена правильно, когда в результате осреднения получают величины, имеющие реальный смысл.

Вводятся следующие обозначения:

– количественный признак, по которому находится среднее значение, называется осредняемым признаком;

– среднее значениепризнака (с чертой сверху), представляющее результат осреднения;

– индивидуальные значения признака у единиц совокупности называемые вариантами ( – номер индивидуального значения признака);

– общее число единиц совокупности;

– частота или повторяемость индивидуального значения признака (его вес).

В зависимости от наличия исходных данных средние можно рассчитать различным образом. В случае, если индивидуальные значения осредняемого признака (варианты ) не повторяются, применяются формулы простых степенных средних.Однако, когда в практических исследованиях отдельные значения изучаемого признака встречаются несколько раз у единиц исследуемой совокупности, тогда частота повторения индивидуальных значений признака ( – вес признака) присутствует в формулах степенных средних. В этом случае они называются формулами взвешенных степенных средних. В формулах взвешенных средних вместо частот могут содержаться частости

 

 

определяемые как отношения частоты признака к сумме частот.

В табл.1.4 приведены формулы расчёта различных видов степенных простых и взвешенных средних величин.

Средняя арифметическая – наиболее распространённый вид средней. Она исчисляется в случаях, когда объём осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц совокупности. Для несгруппированных данных среднее арифметическое значение вычисляется по формуле простой средней

 

 

Если те же данные сгруппированы по величине признака, то среднее значение вычисляется по формуле взвешенной средней

 

 

Средняя гармоническая величина чаще всего вычисляется, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а имеются данные по объёмам осредняемого признака , относящимся к отдельным вариантам совокупности . Можно видеть, что средняя гармоническая является превращённой (обратной) формой средней арифметической. Вместо средней гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужно определить веса отдельных значений признака.

 

Табл.1.4

Формулы расчёта степенных средних величин

Значение	Название средней	Формула средней
простая	взвешенная
- 1	Средняя гармоническая
	Средняя геометрическая
	Средняя арифметическая
	Средняя квадратическая

 

Средняя гармоническая величина чаще всего вычисляется, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а имеются данные по объёмам осредняемого признака , относящимся к отдельным вариантам совокупности . Можно видеть, что средняя гармоническая является превращённой (обратной) формой средней арифметической. Вместо средней гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужно определить веса отдельных значений признака.

При использовании формулы средней геометрической индивидуальные значения признака, как правило, представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин (как отношения последующих уровней показателя к предыдущим уровням в ряду динамики), причём временные отрезки ряда динамики одинаковы (сутки, месяц, год). Средняя геометрическая величина характеризует, таким образом, средний коэффициент роста.

Формула средней квадратической величины используется для измерения средней степени вариации значений признака около среднего арифметического значения в рядах распределения (формулу для расчёта среднеквадратического отклонения см. в главе 1.6).

Степенные средние разных видов, исчисленные по одной и той же совокупности, имеют различные количественные значения, причём чем больше показатель степени , тем больше и величина соответствующей средней

 

 

Это свойство средних степенных называется мажорантностью средних.

Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые называют структурными средними. К таким показателям относятся мода и медиана.

Модой называется наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Она соответствует определенному значению признака.

Например, выборочное обследование 8 пунктов обмена валюты позволило зафиксировать различные цены за доллар (табл.1.5). В этом случае модальной ценой за доллар является величина руб. поскольку в обследованной совокупности пунктов обмена валюты она встречается наиболее часто (3 раза).

 

Табл. 1.5

№ пункта
Цена за 1 $

 

Медиана – это величина признака, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части.

Для примера возьмём данные табл.1.5 и расположим индивидуальные значения признака в возрастающем порядке.

 

9500 9600 9600 9600 9650 9700 9700 9900

 

Порядковый номер медианы определяется по формуле

 

 

а) В случае чётного числа номер медианы имеет не целое значение (в нашем случае 4,5). Медиана будет равна средней арифметической из соседних значении и

 

 

б) В случае нечётного числа индивидуальных признаков (допустим, )

 

 

Следовательно, в этом случае

В рассмотренном примере нахождение таких средних, как мода и медиана, было целесообразно, поскольку исследователь не располагал объёмом продаж по каждому пункту и не мог поэтому с хорошей точностью провести расчёт средней арифметической цены за доллар. Также рассмотренный пример иллюстрирует положение о том, что выбор вида соответствующей средней всегда зависит от имеющихся в наличии данных.

 

4.3. Свойства и методы расчёта средних величин

 

Наиболее часто используемая в экономико-статистической практике средняя арифметическая величина обладает рядом математических свойств, которые иногда упрощают её расчёт. Эти свойства следующие:

1. Если варианты уменьшить или увеличить на некоторое постоянное число, то

средняя арифметическая величина соответственно уменьшится или увеличится на это число

 

 

2. Если варианты изменить в постоянное число раз то средняя тоже изменится во столько же раз

 

 

3. Если частоты разделить или умножить на некоторое постоянное число, то средняя не изменится

 

 

4. Произведение средней арифметической на сумму частот равно сумме произведений вариантов на частоты

 

 

5. Алгебраическая сумма отклонения вариантов от средней величины равна нулю

 

 

Все перечисленные свойства следуют из определения средней арифметической взвешенной (см. параграф 1.4.2).

Иногда расчёт средней арифметической величины удобно упростить, используя её математические свойства. Для этого нужно из всех вариант вычесть произвольную постоянную величину, полученную разность разделить на общий множитель, а затем исчисленную среднюю величину умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную. В результате формула средней арифметической взвешенной получит следующий вид:

 

где .

 

Средняя величина из значений вариант называется моментом первого порядка, а способ вычисления средней – способом моментов.

При выборе и расчёте вида средней величины необходимо учитывать наличие и характер исходных данных. Следует придерживаться следующего алгоритма.

1). Написать определяющее для расчёта среднего показателя соотношение, которое представляет собой суть связи между показателями задачи и определяет методологию расчёта обобщенного показателя. Например, если требуется определить среднюю месячную заработную плату работников, то таким соотношением является

 

 

где – средняя заработная плата; – фонд заработной платы; численность работников.

2). Изучить исходные данные и установить наличие показателей в определяющем соотношении. В предложенном примере такими показателями являются и . Если какой-либо показатель отсутствует, то его необходимо определить по исходным данным, пользуясь определяющим соотношением. Например, при наличии данных о фондах заработной платы и средней заработной плате по группам работников, недостающие показатели находятся в виде

 

 

3). Подставить недостающие показатели в определяющее соотношение и установить вид средней

 

 

т.е. в этом случае расчёт средней заработной платы можно выполнить по формуле средней гармонической взвешенной (см. параграф 1.4.2).

Соотношения для определения средних структурных величин, представленные в параграфе 1.4.2, предназначены для расчётов средних величин дискретных рядов. Методы расчёта средних по данным интервальных рядов имеют специфику, связанную с тем, что исследователь имеет дело не с дискретными значениями, а с интервалами группировочного признака. В этих случаях определения степенных средних сохраняются с учётом, что вместо значений вариант в них подставляются серединные значения признака в интервалах.

Для расчёта моды по данным интервального ряда используется следующая формула:

 

 

где – нижняя граница модального интервала; – размер модального интервала; – частота модального интервала; – частота интервала, предшествующего модальному; – частота интервала, следующего за модальным.

Для расчёта медианы в интервальном ряду используется следующая формула:

 

 

где – нижняя граница медианного интервала; – размер медианного интервала; – сумма накопленных частот до медианного интервала; – частота медианного интервала; – полу сумма частот ряда.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение абсолютной величины.

2. Какие абсолютные величины бывают по уровню обобщения?

3. Какие единицы измерения могут иметь абсолютные величины?

4. Дайте определение относительной величине.

5. Какие единицы измерения они могут иметь?

6. Как рассчитываются относительные величины:

планового задания;

выполнения плана;

динамики;

сравнения;

структуры;

координации;

интенсивности.

7. Как связаны между собой относительные величины планового задания, выполнения плана и динамики?

8. В чем заключается особенность расчета относительной величины интенсивности?

9. Дайте определение средней величины.

10. Назовите виды средних величин.

11. Приведите формулы расчета средней арифметической простой и взвешенной.

12. Как выглядят формулы расчета средней гармонической простой и взвешенной?

13. В каких случаях вместо взвешенных формул средней арифметической и средней гармонической применяются соответствующие формулы простых средних

14. В каких случаях применяется агрегатная формула расчета средней?

15. В чем заключается смысл определяющего свойства средней?

16. Дайте определения моды и медианны и приведите формулы их расчета в интервальных рядах.

 

Задачи

1. Перерабатывающая организация за 1 квартал отчетного года реализовала зарубежной фирме следующее количество льноволокна: в январе - 100 т, феврале - 120, марте - 115 т. Необходимо рассчитать и оценить относительные показатели динамики реализации льноволокна.

2. Молокоперерабатывающая организация заготовила молочное сырье в общем объеме 1500 т, в т. ч. молоко сортов: высшего- 1000т, первого сорта - 300 т, второго - 200 т. Необходимо рассчитать и оценить структуру заготовленного сырья.

3. В составе коллектива ЗАО «Хлеб» числиться 10 работников административно-управленческого персонала, 20 специалистов и 200 рабочих. Необходимо оценить относительные показатели координации.

4. Рыночные цены на картофель по районным центрам области сложились следующим образом:

Рыночные цены на картофель

№ п/п	Интервалы рыночных цен, руб./кг	Число рынков
	3800-4200
	4200-4800
	4800-5000
	5000-5500
	5500-6000

 

Необходимо рассчитать модальное и медианное значения рыночных цен на картофель.

5. Имеются следующие данные по урожайности картофеля в личных подсобных хозяйствах населения: Рассчитать медиану в интервальном ряду.

 

№ п/п	Интервалы по урожайности, ц/га	Число хозяйств
	100-150
	150-200
	200-250
	250-300
	300-350
	350-400

 

Рассчитайте медианное значение урожайности картофеля.

6. На основе исходных данных, приведенных в таблице, определите среднюю урожайность картофеля в базисном и отчетном периодах.

 

№ хозяйства	Базисный период	Отчетный период
Урожайность картофеля, ц/га (х)	Посевная площадь, га (f)	Доля посевов картофеля к итогу, df	Урожайность картофеля, ц/га (х)	Валовой сбор картофеля, ц/га (х)	Посевная площадь, га
			0,30
			0,20
			0,50
Итого			1,00