I. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ГОУ «Пермский государственный национальный исследовательский университет»

З.И.Андреева

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Учебное пособие

Пермь 2011

ББК 22.14

УДК 512.6

А 655

Библиогр. назв.

ISBN

Учебное пособие «Линейная алгебра» написано на основе курса лекций по линейной алгебре, читаемого автором в течение многих лет для студентов физического факультета Пермского государственного университета.

Пособие может быть использовано студентами всех направлений физического факультета университета, а также студентами соответствующих специальностей педагогических вузов.

ББК

УДК

©Андреева З.И., 2011-02-06

ISBN

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее пособие представляет собой изложение курса лекций по линейной алгебре, которые читаются студентам всех направлений физического факультете Пермского государственного университета.

При написании пособия учтены многие достоинства наиболее распространенных учебников, содержащих материалы по линейной алгебре: А.Г.Куроша «Курс высшей алгебры», А.И.Кострикина «Основы алгебры», В.А.Ильина и Э.Г.Позняка «Линейная алгебра», Г.С.Шевцова «Линейная алгебра: теория и прикладные задачи». Приводятся в основном наиболее краткие доказательства. Ссылки на эти учебники в тексте данного пособия мы не делаем.

Изложен только программный материал курса. Приведены все необходимые определения, понятия, утверждения и теоремы. Некоторые утверждения (например, теоремы Крамера, Лапласа, о равенстве числа векторов во всех базисах данного конечномерного линейного пространства и др.) приводятся в пособии без доказательства. Для самостоятельного доказательства предлагаются достаточно простые утверждения или утверждения, аналогичные уже доказанным.

В пособии приведены образцы решения задач, использующие изложенную теорию.

I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА

Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с любым числом неизвестных. В качестве коэффициентов при неизвестных будем использовать действительные и комплексные числа. Неизвестные будем обозначать х₁, х₂, …, х_n. Если уравнения занумеровать числами 1, 2, …, m, то коэффициент при к-ом неизвестном в р-ом уравнении будем обозначать _рк,, свободный член р-го уравнения будем обозначать . Следовательно, система уравнений запишется следующим образом:

(1)

Очевидно правая часть системы (1) вполне определяется таблицей своих коэффициентов, т.е. прямоугольной таблицей из m строк и n столбцов:

(2)

Определение 1. Матрицей порядка m´n называется таблица, состоящая из m строк и n столбцов. Если m = n, то матрица называется квадратной матрицей n-го порядка.

Матрица (2) называется матрицей системы (1). Матрица

(3)

называется расширенной матрицей этой системы.

Отметим следующие свойства системы (1), часто помогающие при её решении.

· Если в системе (1) два или несколько уравнений поменять местами, то получится система уравнений, эквивалентная данной системе.

· Если в системе (1) одно из уравнений умножить на отличное от нуля действительное число, то получится система уравнений, эквивалентная данной.

· Если к одному из уравнений системы (1) прибавить другое её уравнение, умноженное на отличное от нуля действительное число, то получится система уравнений, эквивалентная данной.

· Если система (1) содержит два пропорциональных уравнения, то, удалив одно из этих уравнений, мы получим систему уравнений, эквивалентную данной.

· Если в системе (1) есть уравнение, все коэффициенты которого равны нулю, то после удаления этого уравнения мы получим систему уравнений, эквивалентную данной.

Описанные преобразования называются элементарными преобразованиями системы (1).

Соответствующие преобразования матрицы (3) называются элементарными преобразованиями этой матрицы.

Одним из методов решения системы (1) является метод последовательного исключения неизвестных или метод Гаусса.

Пусть дана система (1). Вместо того, чтобы преобразовывать эту систему, достаточно проводить соответствующие преобразования с её расширенной матрицей (3). Переставим, если нужно, строки матрицы так, чтобы в верхнем левом углу стоял отличный от нуля элемент. Будем считать, мто матрица (3) уже удовлетворяет этому условию. Умножив первую строку на число (- ), прибавим её ко второй строке. В результате на первом месте во второй строке будет стоять 0. Умножив первую строку на число (- ), прибавим её к р-ой строке. В результате на первом месте в р-ой строке будет стоять 0. Сделаем это для всех р от 2 до m. Получим матрицу (4).

Если в матрице (4) есть строка, состоящая целиком из нулей, то её отбросим. Если есть пропорциональные строки, то из них оставим только одну. Пусть в матрице (4) все лишние строки уже отброшены. Строки с номерами 2, 3, …, m переставим, если нужно, так, чтобы во второй строке на втором месте стояло число, отличное от нуля. Пусть с₂₂ ¹ 0. Умножим вторую строку на (- ) и прибавим к к-ой строке для всех к от 3 до m. В результате все элементы второго столбца, кроме первых двух будут равны нулю. (Если в матрице (4) все с_к2 равны нулю, то сразу переходим к третьей строке). Продолжая описанную процедуру дальше, мы получим либо треугольную, либо трапециевидную матрицу ((5) или (6)).

(5), (6)

В этих матрицах все диагональные элементы, кроме может быть последнего, отличны от нуля.

Если матрица (3) привелась к виду (5), то система (1) эквивалентна системе

(7)

Очевидно, е_nn и f_n не могут быть равны одновременно нулю. Если е_nn ¹ 0, то система (7), а поэтому и система (1), имеет единственное решение. Действительно, из последнего уравнения можно найти х_n. Подставив его значение в предпоследнее уравнение, найдём х_n-1 и так далее. Если же е_nn = 0, то f_n ¹ 0. В этом случае последнее уравнение, а поэтому и вся система, не имеет решения.

Если матрица (3) привелась к виду (6), то система (1) будет эквивалентна системе

(8)

Если тогда и последнее уравнение не имеет решений. Следовательно, не имеет решений и вся система. Если же коэффициенты не все равны нулю, то последнее уравнение имеет бесконечно много решений (одно неизвестное этого уравнения можно выразить через остальные). Но тогда из предпоследнего уравнения можно найти и, поднимаясь по системе, можно найти все неизвестные. Система будет иметь бесконечно много решений.

Метод Гаусса можно запрограммировать и используя полученную программу передать решение системы линейных уравнений на ЭВМ. Недостатком метода является то, что даже в случае определённой системы нельзя найти формулы, выражающие решение через коэффициенты уравнений и свободные члены, а так же не даёт возможности сформулировать условия совместности системы через коэффициенты и свободные члены. Последнее бывает очень важно в различных теоретических исследованиях.

II.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ