Базис векторного пространства. Координаты вектора

Пусть L – линейное пространство над полем Р.

Определение 18. Базисом линейного пространства называется любая упорядоченная максимальная линейно независимая системе его векторов.

Базису можно дать другое определение, эквивалентное приведённому.

Определение 19. Базисом линейного пространства L называется любая упорядоченная система а₁, а₂, …, а_n, … (*) его векторов, удовлетворяющая следующим требованиям:

1. любой вектор из L можно представить в виде линейной комбинации конечного числа векторов из (*);

2. ни один вектор а_к из системы (*) нельзя представить в виде линейной комбинации конечного числа остальных векторов из (*).

Теорема 11. Если линейное пространство L имеет конечный базис, то все базисы этого пространства конечны и содержат одно и то же число векторов.

Доказательство. Любые два базиса эквивалентны. Так как каждый из них линейно независим, то отсюда и следует утверждение теоремы.

Определение 20. Линейное пространство называется бесконечно мерным, если в нём есть базис, содержащий бесконечное множество векторов. Если все базисы пространства содержат n векторов, то пространство называется n-мерным.

Размерность линейного пространства будем обозначать dim L.

Примеры. 1. Множество всех коллинеарных геометрических векторов есть одномерное линейное пространство. Базисом является любой ненулевой вектор.

2. Множество всех компланарных геометрических векторов есть двумерное линейное пространство. Базисом является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

3. Множество всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства есть трёхмерное линейное пространство. Базисом будет любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

4. Множество всех многочленов степени не выше n с действительными (комплексными) коэффициентами есть (n + 1)-мерное линейное пространство. Система 1, х, х², …, хⁿ – один из базисов в нём.

5. Множество всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами есть бесконечно мерное линейное пространство. Система 1, х, х², …, хⁿ, … – один из базисов в нём.

6. Арифметическое n-мерное пространство. Пусть А_n – множество всех возможных упорядоченных наборов а = (a₁, a₂,…, a_n) действительных чисел. Если в = (b₁, b₂, …, b_n), то сумму наборов и умножение набора на действительное число определим следующим образом:

а + в = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, …, a_n + b_n); l× а = (la₁, la₂, …, la_n). Легко проверить, что все требования определения 13 выполняются, т.е. А_n является линейным пространством. Очевидно, система е₁ = (1, 0, …,0), е₂ = (0, 1, … 0), …, е_n = (0, 0, …, 0) является линейно независимой. Если а = (a₁, a₂,…, a_n) – любой набор, то а = a₁×е₁ + a₂×е₂+ … + a_n×е_n. Следовательно, система е₁, е₂, …, е_n является базисом в А_n, т.е. А_n – n-мерное линейное пространство.

7. Во множестве матриц размерности m´n является система матриц Е₁₁ = , Е₁₂ = , …, Е_mn = .

Пусть L – n-мерное линейное пространство и В = { е₁, е₂, …, е_n } базис в нём. Если а – любой вектор из L, то а = a₁ е₁ + a₂ е₂ + … + a_n е _n.

Определение 21. Упорядоченный набор коэффициентов, с помощью которых данный вектор выражается через базисные векторы, называется координатами этого вектора в данном базисе. Обозначение а = {a₁, a₂, …, a_n}.

Если Через е = (е ₁, е₂, …, е_n) обозначить строку базисных векторов, а через х – столбец координат вектора а, т.е. х = (a₁, a₂, …, a_n)^Т, то а = е×х (22). Это матричная запись вектора в данном базисе.

Теорема 12. Каждый вектор пространства L имеет в базисе В единственный набор координат.

Доказательство. По определению базиса каждый вектор имеет хотя бы один набор координат. Предположим, что некоторый вектор а имеет в базисе В два различных набора координат, т.е. а = a₁ е₁ + a₂ е₂ + … + a_n е_n и а = b₁ е₁ + b₂ е₂ + … + b_n е _n. Будем считать, что a₁ ¹ b₁. Тогда a₁ е₁ + a₂ е₂ + … + a_n е_n = b₁ е₁ + b₂ е₂ + … + b_n е _n. Отсюда

(a₁ – b₁) е₁ = (b₂ – a₂) е₂ + … + (b_n – a_n) е _n.

е₁ = , т.е. один из базисных векторов выразился через остальные векторы базиса, что противоречит определению 19. Итак, a₁ = b₁. Аналогично получается равенство остальных соответствующих координат.

Теорема 13. Если векторы заданы координатами в одном и том же базисе, то при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, при умножении вектора на действительное (комплексное) число на это число умножается каждая его координата.

Доказательство проведите самостоятельно.