Абсолютная и условная сходимость

Ряд (1) (с членами произвольных знаков) заведомо сходится, если сходится положительный ряд (2): составленный из абсолютных значений членов данного ряда.

Остаток данного ряда (1) по абсолютному значению не превосходит соответствующего остатка ряда (2).

Сумма S данного ряда(1) по абсолютному значению не превосходит суммы S'ряда (2). |S|£S'. Равенство имеет место только тогда, когда все члены ряда (1) — одного знака.

 

Замечание 1. Ряд (1) может сходиться и тогда, когда ряд (2) расходится.

 

Определение 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений его членов (в этом случае сходится и данный ряд).

 

Определение 2. Ряд называется условно схо­дящимся, если он сходится, но ряд, составленный из абсолютных значений его членов, расходится.

 

Замечание 2. Сходящийся ряд, у которого все члены положительны или все члены отрицательны, - абсолютно сходящийся.

 

Исследовать ряд на сходимость:

·

Данный ряд положительный, поэтому применим признак Даламбера.

Ответ: ряд сходится.

·

Применим признак Коши для положительного ряда:

Ответ: ряд сходится.

·

Применим признак Лейбница для знакопеременного ряда. Так как члены ряда стремятся к нулю всё время убывая по абсолютному значению, следовательно, ряд сходится:

Ответ: ряд сходится.

·

Применим признак сравнения:

Сравним данный ряд с рядом .

Применяя интегральный признак сходимости, вычисляем интеграл:

Это значит, что ряд расходится. Так как члены исследуемого ряда больше членов рассмотренного расходящегося ряда , делаем вывод о расходимости исследуемого ряда.

Ответ: ряд расходится.

Лекция 15

Степенной ряд.

Сте­ленным рядом называется ряд вида (1): а_о+а₁х+а₂х²+...+а_пх^п+...,

а также ряд более общего вида (2): а_о+а₁ (х-х₀) +а₂х² (х-х₀) ²+...+а_пх^п (х-х₀) ⁿ+...,

говорят, что он расположен соответственно по степеням х, о или по степеням х - х₀.

Постоянные а₀, a₁,..., а_п,... называются коэффи­циентами степенного ряда.

Если обозначить х-х₀ через z, то ряд (2) окажется расположенным по степеням z, т. е. примет вид (1). Поэтому в дальнейшем, если особо не оговорено, сте­пенным рядом именуется ряд вида (1). Степенной ряд всегда сходится при х =0. Относительно сходимости его в других точках могут представиться три случая

 

1) степенной ряд может расхо­дится во всех точках, кроме х =0, например,

1¹х¹+2²х²+3³х³+…+ п^пх^п+...,

у которого общий член п^пх^п = (пх)^п неограниченно уве­личивается по абсолютному значению, начиная с мо­мента, когда пх становится больше единицы.

 

2) степенной ряд может сходиться во всех точках, например,

сумма которого при всяком значении х равна е^х.

3) степенной ряд может сходиться в од­них точках и расходится в других.