Непрерывность функции на промежутке

Определение 1: Функция f (x) называется непрерывной в интервале (а; b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Определение 2: Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [ а; b ], если она непрерывна в каждой точке интервала (а; b), и непрерывна в точке а справа, и в точке b слева.

Всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения.

 

Теорема 1: (об устойчивости знака непрерывной функции) Пусть функция f (х) непрерывна в точке х ₀ и f (х ₀)¹0. Тогда существует d >0 такое, что для всех х Î(х ₀- d, х ₀+ d) функция f (х) имеет тот же знак, что f (х ₀).

 

Теорема 2: (I теорема Больцано-Коши) Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [ а; b ] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка с Î(а; b), в которой f (с)=0.

Её геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе с одной полуплоскости, границей которой является ось Ох, в другую пересекает эту ось.

 

Теорема 3: (II теорема Больцано-Коши) Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [ а; b ] причём f (а)= А f (b)= В и А < C < В. Тогда на отрезке [ а; b ] найдётся точка с такая, что f (с)= С.

Её геометрический смысл: непрерывная функция f (х) при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения.

 

Следствие: Если функция f (х) определена и непрерывна на некотором промежутке Х, то множество её значений Y также представляет некоторый промежуток.

 

Определение 3: Функция f (x) называется ограниченной на отрезке [ а; b ], если существует число М >0 такое, что для всех х Î[ а; b ] выполняется неравенство | f (x)|£ M.

 

Теорема 4: (I теорема Вейерштрасса) Если функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [ а; b ], то она ограничена на этом отрезке.

Замечание: для интервала (а; b) теорема неверна.

 

Определение 4: Точной верхней (нижней) гранью функции f (x), определённой на Х, называется наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней, ограничивающих Y сверху (снизу).

 

Теорема 5: (II теорема Вейерштрасса) Если функция f (х) непрерывна на отрезке [ а; b ], то она достигает на этом отрезке своих точных граней, то есть существуют точки х ₁, х ₂Î[ а; b ] такие что

Замечание: после этого можно ввести определения:

Определение 5: Точная верхняя (нижняя) грань функции f (x) называется максимальным (минимальным) значением функции на отрезке.

 

Теорема 5: (II теорема Вейерштрасса) Непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке максимальное и минимальное значения.

 

Теорема 6: (о непрерывности обратной функции) Пусть функция у = f (х) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке Х и пусть Y – множество её значений. Тогда на множестве Y обратная функция х = j (у) однозначна, строго монотонна и непрерывна.

Производная функции.

Пусть на некотором промежутке X определена функция y = f (x). Возьмем любую точку х ₀Î Х и зададим аргументу х в точке х ₀ произвольное приращение D х такое, что точка х ₀+D х также принадлежит X. Функция получит приращение D у = f (х ₀+D х)- f (x ₀).

 

Определение 1: Производной функции у = f (x) в точке х ₀ называется предел при D х ®0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).

 

Геометрический смысл производной. Пусть функция y = f (x) определена на интервале (а, b) и пусть точка М на графике функции соответствует значению аргумента х ₀, а точка Р - значению х ₀+D х. Проведем через точки М и Р прямую и назовем её секущей. Обозначим через j (D х) угол между секущей и положительным направлением оси Ох. Очевидно, что этот угол зависит от D х.

Если существует , то прямую с угловым коэффициентом k = tgj ₀, проходящую через точку М (х ₀; f (x ₀)) называют предельным положением секущей МР при D х ®0 (или при Р ® М).

 

Определение 2: Касательной S к графику функции у = f (x) в точке М называется предельное положение секущей МР при D х ®0 (или при Р ® М).

 

Итак, производная функции y = f (x) в точке х ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в точке М (х ₀; f (x ₀)) и равна тангенсу угла наклона касательной с положительным направлении оси абсцисс.

Физический смысл производной. Предположим, что функция y = f (x) описывает закон движения материальной точки М по прямой линии, т. е. у = f (х)-путь, пройденный точкой М от начала отсчёта за время х.

Тогда за время х ₀ пройден путь y = f (x ₀), а за время х ₁ - путь y = f (x ₁).

За промежуток времени D х = x ₁- х ₀ точка М пройдёт отрезок пути D y = f (x ₁)- f (x ₀)= f (x ₀+D х)- f (x ₀).

Отношение D у /D х называется средней скоростью движения (v _ср) за время D х, а предел отношения D у /D х при D х ®0 определяет мгновенную скорость точки в момент времени х ₀ (v _мгн).

 

Определение 3: Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке х ₀, если её приращение D y в этой точке можно представить в виде D y = А D х + a (D х)D х,

где А - некоторое число, не зависящее от D х, а a (D х) - функция аргумента D х, являющаяся бесконечно малой при D х ®0, т. е. . Доказано, что А = f ¢(х ₀).

 

Установим связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в той же точке.

Теорема 1: Для того чтобы функция y = f (x) была дифференцируема в точке х ₀, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Таким образом, для функций одной переменной дифференцируемость и существование производной - понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.

 

Теорема 2: Если функция y = f (x) дифференцируема в данной точке х ₀, то она и непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т. е. не иметь производной в этой точке.