Воздуха при течении сквозь цилиндрическую трубу

 

Цель работы: ознакомиться с уравнением Навье-Стокса для установившегося движения в цилиндрической трубе круглого сечения и законом Пуазейля; освоить методику определения коэффициента сопротивления при движении в цилиндрических трубах круглого сечения через число Рэйнольдса.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ

Установившимся называется такое движение сплошной среды, при котором распределение скорости во всех нормальных к потоку сечениях одинаково, а давление меняется только при переходе от сечения к сечению. Поэтому при установившемся движении можно ввести линейное соотношение между разностью давлений в среде плотностью ρ между сечениями, находящимися на расстоянии l друг от друга, и квадратом средней скорости потока V:

. (1)

Здесь ζ – коэффициент сопротивления движению среды.

При установившемся течении среды вязкостью η распределение скорости V (x,y) в нормальном к потоку сечении связано с изменением давления между сечениями, находящимися на расстоянии l друг от друга, уравнением (уравнением Навье-Стокса):

. (2)

Секундный объемный расход при установившемся движении среды через сечение площадью S определяется как:

. (3)

Средняя скорость по сечению определяется как:

. (4)

Формула Пуазейля. При движении идеальной среды омываемая ею поверхность считается непроницаемой, т.е. накладывается граничное условие только на распределение нормальной к поверхности составляющей скорости среды. В случае вязкой жидкости в силу «прилипания» среды к омываемой поверхности граничное условие формулируется, как равенство нулю скорости среды относительно омываемой поверхности по всему смачиваемому периоду:

, (5)

где f(x,y) – уравнение омываемой поверхности. При течении вязкой среды по трубе круглого сечения радиусом R соотношение (5) принимает вид:

. (6)

Поэтому уравнение (2) с граничным условием (6) имеет единственное решение для распределения скоростей в сечении, нормальном к направлению потока:

,

где R – радиус капилляра; l – его длина;h - коэффициент вязкости газа. В результате секундный объемный расходиз (3):

, (7)

где – разность давлений на концах трубы.

Соотношение (7) называется законом Пуазейля.

При течении со средней по сечению трубы скоростью потока в длинных цилиндрических трубах с диаметром число Рейнольдса определяется через коэффициент динамической вязкости, соотношением:

. (8)

Законом сопротивления для омываемых средой поверхностей называется зависимость коэффициента сопротивления движению среды от числа Рейнольдса. Поэтому из соотношения (1) (для h=R) с учетом (4) и (8) закон сопротивления цилиндрических круглых труб при установившемся движении задается соотношением:

(9)

где Re определяется соотношением (8).

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

В данной работе вязкой средой является воздух. Основным элементом установки (рис. 1) является капилляр 2, через который протекает воздух. Правый конец капилляра соединен с атмосферой через осушающий фильтр 3, левый конец – с аспиратором 1.

Когда из аспиратора вытекает вода, давление в нем понижается и на концах капилляра возникает разность давлений , которая пропорциональна разности уровней жидкости в манометре 4:

, (10)

где – плотность манометрической жидкости (воды).

Расход воздуха Q_t, прошедшего через капилляр за время , равен объему воды О, вытекшей из аспиратора за это время в мензурку 5 (Q_t= О).

Подставляя последнее выражение в уравнение (3), получим расчетную формулу для определения вязкости воздуха:

, (11)

, (12)

где С – постоянная установки. Значения и указаны на установке.

 

Приборы и принадлежности: стенд для определения коэффициента внутреннего трения; мензурка; секундомер.

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Запишите в отчет значения радиуса и длины капилляра, указанные на установке. Рассчитайте по формуле (12) значение постоянной установки и запишите его в отчет.

2. Согласно варианту индивидуального задания или по указанию преподавателя выберите режим скорости истечения воды и величину расхода воды Q_t.

3. Вылейте воду из мензурки в аспиратор (если она там осталась после предыдущих опытов) и поставьте мензурку под кран аспиратора. Аспиратор должен быть заполнен водой не менее чем до половины. Откройте крышку фильтра.

4. Откройте кран аспиратора и одновременно запустите секундомер. Во время истечения жидкости из аспиратора измерьте разность уровней жидкости в манометре и запишите полученное значение в таблицу для испытаний. За время истечения жидкости значение величины должно оставаться постоянным. Непостоянство величины говорит о нарушении герметичности соединений. В этом случае необходимо устранить подсос воздуха и повторить опыт.

5. После истечения установленного объема жидкости остановите секундомер и перекройте кран аспиратора. Запишите в таблицу результатов измерений время и расход вытекшей воды Q_t.

6. Измерения, указанные в пунктах 3-5, проделайте еще четыре раза.

Таблица. Результаты измерений.

№	, мм	, c	, см3	h, Па×с	V, м/c	V2,м/c	Re	ζ

7. Определите среднее значение времени истечения воды для заданного расхода Q_t. Рассчитайте по формуле (11) коэффициент вязкости воздуха hи его по алгоритму обработки результатов измерений определите доверительный интервал , где относительная погрешность рассчитывается по формуле:

.

Абсолютную погрешность разности уровнейпримите равной D h =1 мм; в качестве D t возьмите наибольшую из ошибок D t_пр и D t_сл; абсолютную погрешность объема DОвыберите как половину цены деления мензурки.

8. Рассчитайте по соотношениям (8) и (9) значения числа Рейнольдса и сопротивления трубы для каждого испытания. Определите среднее значение .

9. Постройте график зависимости Δp от О,откладывая значения О по горизонтальной оси, а значения Δp, рассчитанные по соотношению (10), по вертикальной оси. Для установившегося течения (формула (1) с учетом (8) и (9)) эта зависимость должна быть линейной, поэтому по характеру расположения экспериментальных точек определите, группируются ли они около прямой. Если да, то проведите прямую, стараясь, чтобы она проходила как можно ближе к каждой из экспериментальных точек. (Эта прямая может не проходить через все экспериментальные точки).

10. В выводах по проделанной работе проанализируйте зависимость Δp от О и оцените, является ли течение установившемся. По среднему числу Рейнольдса определите режим течения, сравните экспериментальные и табличные значения для воздуха.

Контрольные вопросы

1 Охарактеризуйте установившееся течение вязкой среды.

2. Сформулируйте соотношение между средней скоростью течения и разностью давления в установившемся потоке вязкой среды.

3. Установите, из какого уравнения можно определить распределение скорости в сечении нормальном к потоку.

4. Объясните, как зная распределение скорости в сечении, нормальном к потоку, определить среднюю скорость течения.

5. На примере течения вязкой среды в цилиндрической трубе круглого сечения покажите, как коэффициент сопротивления связан с числом Рейнольдса.

Литература

Гиргидов, А.Д. Механика жидкости и газа (гидравлика): Учебник / А.Д. Гиргидов. – М.: НИЦ ИНФРА–М, 2014. – 704 с. – ЭБС «Знаниум».

 

Библиографический список

Основная литература

1. Гиргидов, А.Д. Механика жидкости и газа (гидравлика): Учебник / А.Д. Гиргидов. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2014. - 704 с.- ЭБС «Знаниум».

Дополнительная литература

2. Физика. Молекулярная физика. Термодинамика [Электронный ресурс]: лаб. практикум / И. П. Бирюкова, В. А. Григорьев, Н. Ю. Евсикова, В. И. Лисицын, Н. Н. Матвеев, В. В. Постников, В. В. Саушкин; ВГЛТА. - Воронеж, 2014. - ЭБС ВГЛТУ.