Взаимное расположение двух прямых на плоскости

В этом параграфе для удобства изложения будем считать, что совпадающие прямые – это частный случай параллельных.

Пусть две прямые на плоскости заданы общими уравнениями:

l ₁: A ₁ x + B ₁ y + C ₁ = 0 ,

l ₂: A ₂ x + B ₂ y + C ₂ = 0 .

Тогда мы сразу можем сделать вывод, что (A ₁, B ₁) и (A ₂, B ₂) – это векторы нормали к l ₁ и l ₂.

Теорема 2. 1. l ₁½½ l ₂ и l ₁¹ l ₂ Û = ¹.

2. l ₁= l ₂ Û = =.

3. l ₁^ l ₂ Û A ₁ A ₂ + B ₁ B ₂ = 0.

4. угол между l ₁ и l ₂ вычисляется по формуле

cos a = =. (16)

Доказательство. 1, 2. Очевидно, что l ₁½½ l ₂ Û ½½, а по второму признаку коллинеарности векторов это равносильно

= = l. (*)

При этом, прямые будут совпадать Û у них есть общая точка M _o(x _o, y _o), т. е. если одновременно выполняется

A ₁ x _o + B ₁ y _o + C ₁ = 0,

A ₂ x _o + B ₂ y _o + C ₂ = 0.

Вычтем из первого равенства второе, домноженное на l:

(A ₁– l A ₂) x _o + (B ₁– l B ₂) y _o + C ₁– l C ₂ = 0.

В силу (*) обе скобки равны нулю Þ C ₁– l C ₂ = 0 Û C ₁/ C ₂ = l. (**) Объединяя (*) и (**), получаем требуемый результат.

Обратно, если выполнено условие пункта 2, то уравнения прямых l ₁ и l ₂ пропорциональны, т.е., разделив первое уравнение на некоторое число l, мы получим второе уравнение. Значит эти уравнения равносильны и определяют на плоскости одно и то же множество.

3, 4. Напомним, что углом между двумя прямыми называется меньший из двух углов, которые образуются при их пересечении. Таким образом, угол a между прямыми находится в пределах 0 £ a £ p/2.

Пусть b =Ð(,). Тогда 0 £ b £ p.

Очевидно, что b совпадает с одним из двух углов, которые образуют прямые при пересечении.

1 случай: 0 £ b £ p/2. Тогда a = b Þ

cos a = cos b =.

2 случай: p/2 < b £ p. Тогда a = p – b и cos b < 0 Þ

cos a = cos (p – b) = – cos b =

=½ cos b½ = .

Эта формула подойдет и к первому

случаю: неотрицательную величину модулем не испортишь. Последнее равенство в (16) – эта та же формула, только расписанная в координатах. В частности, из (16) следует, что l ₁^ l ₂ Û · = 0 Û A ₁ A ₂ + B ₁ B ₂ = 0.

Упражнение 1. Прямые на плоскости могут быть заданы не только общим уравнением. После изучения темы «Взаимное расположение прямой и плоскости» вы легко напишите условия параллельности и совпадения двух прямых, одна из которых задана каноническим или параметрическим уравнением, а вторая – общим уравнением.

Упражнение 2. Самостоятельно напишите условия параллельности и совпадения двух прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.

Теорема 2. Пусть две прямые на плоскости заданы уравнениями с угловым коэффициентом

l ₁: y = k ₁ x + q ₁, l ₂: y = k ₂ x + q ₂.

Тогда угол между ними вычисляется по формуле

tg q =.

Доказательство. Пусть k ₁= tg a₁, k ₂ = tg a₂ , а q₁ и q₂ – углы, которые образуются при пересечении прямых (см. чертеж). Тогда q₁= b – a, и, если q₁£ p/2, то он будет считаться углом между l ₁и l ₂. В этом случае tg q₁³ 0.

Находим:

tg q₁= tg(b – a) = =.

Если q₁> p/2, то между прямыми считается q₂ = p – q₁. Тогда

tg q₂ = tg(p – q₁) = – tg q₁=½tg q₁½ =.

Эта формула подойдет и к первому случаю.

Заметим, что если убрать в числителе модуль, то получится формула, по которой можно вычислить ориентированный угол от l ₁ до l ₂, (отсчитываемый против часовой стрелки). Данный угол может находиться в пределах – p £ q £ p.