Общее преобразование координат в пространстве

Пусть в пространстве заданы две совершенно произвольные аффинные системы координат с общим началом, R ={ O,,,} и R ¢={ O,,,} – реперы, с помощью которых они определяются. Пусть – произвольный вектор, (x ₁, x ₂, x ₃) – его координаты в первой СК, (, x ₂¢, x ₃¢) – во второй. Будем называть (x ₁, x ₂, x ₃) старыми координатами вектора, а (, x ₂¢, x ₃¢) – новыми его координатами.

Найдем связь между этими координатами. Пусть нам известно разложение базисных векторов второго базиса B ¢={,,} по первому базису B ={,,}:

= с ₁₁+ с ₂₁+ с ₃₁,

= с ₁₂+ с ₂₂+ с ₃₂, (20)

= с ₁₃+ с ₂₃+ с ₃₃.

Составим из коэффициентов этого разложения матрицу, выписывая коэффициенты разложения из каждой строки в столбец с тем же номером:

с ₁₁ с ₁₂ с ₁₃

С = с ₂₁ с ₂₂ с ₂₃

с ₃₁ с ₃₂ с ₃₃.

Эта матрица называется матрицей перехода от первого базиса ко второму. Имеем:

= x ₁+ x ₂+ x ₃

= x ₁¢ + x ₂¢ + x ₃¢.

Подставим в последнее равенство выражения (20):

= x ₁¢ (с ₁₁+ с ₂₁+ с ₃₁)+ x ₂¢ (с ₁₂+ с ₂₂+ с ₃₂)+ x ₃¢ (с ₁₃+ с ₂₃+ с ₃₃).

Раскроем скобки и сгруппируем коэффициенты при одинаковых векторах:

= (с ₁₁ x ₁¢ + с ₁₂ x ₂¢ + с ₁₃ x ₃¢) +(с ₂₁+ с ₂₂ x ₂¢ + с ₂₃ x ₃¢) + (с ₃₁+ с ₃₂ x ₂¢ + с ₃₃ x ₃¢).

Сравниваем с (*), и в силу единственности разложения вектора по базису, получаем

x ₁= с ₁₁ x ₁¢ + с ₁₂ x ₂¢ + с ₁₃ x ₃¢,

x ₂= с ₂₁+ с ₂₂ x ₂¢ + с ₂₃ x ₃¢, (21)

x ₃= с ₃₁+ с ₃₂ x ₂¢ + с ₃₃ x ₃¢.

Если использовать столбцы, составленные из координат

x ₁ x ₁¢

X = x ₂ X ¢= x ₂¢

x ₃, x ₃¢,

То систему (21) можно переписать в виде одного матричного равенства:

X = CX ¢ (21¢)

Þ X ¢= C ^–1 X,(22)

т.е. для того, чтобы найти новые координаты вектора по старым, необходимо выписать формулы, аналогичные (21), только в качестве коэффициентов будут использованы элементы матрицы C ^–1, а штрихи у координат будут стоять в левых частях равенств. Можно решить систему уравнений (21) относительно неизвестных x ₁¢, x ₂¢, x ₃¢ и мы получим те же формулы.

К сожалению, не всегда к моменту изучения этого параграфа студенты успевают пройти по алгебре произведение матриц и обратную матрицу. Но ко времени экзамена этот материал обязательно должен быть пройден. Необходимые пояснения будут даны на практических занятиях по геометрии.

Координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора, поэтому они пересчитываются по тем же формулам (21¢) и (22). Заметим, что все рассуждения, приведенные при выводе формул (17) и (17¢) верны и для произвольной аффинной СК. Поэтому в случае переноса начала координат в точку O ¢(a, b, c) координаты точки пересчитываютcя по формулам

x ₁= x ₁¢ + a, x ₁¢ = x ₁– a,

x ₂= x ₂¢ + b, (22) x ₂¢ = x ₂– b, (22¢)

x ₃= x ₃¢ + c. x ₃¢ = x ₃– c.

Все сказанное выше верно и для преобразования аффинной СК на плоскости.

Примеры решения задач.

1. ABCD – параллелограмм, O – его центр, M, N, P, Q – середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Векторы = и = выбраны в качестве базисных. Найти координаты вектора в базисе {, }.

Решение. По правилу треугольника = + ; =, а по

правилу параллелограмма сложения векторов = + = +. Поэтому = (+) + = + . Значит,.

Ответ:.

2. Даны координаты векторов (17,0) и (–1,1) в ортонормированном базисе. Найти такое l, при котором вектор = +l имеет абсолютную величину | | =25 (если решений два, то достаточно взять одно из них). Найти единичный вектор, коллинеарный.

Решение. Вектор = +l· имеет координаты (17–l, 0+l). Находим его длину и приравниваем ее к 25. Получаем квадратное уравнение относительно неизвестного l:

(17–l)²+l²=625,

2l² – 34l + 289=625 Û 2l² – 34l – 336=0, Û

Û l²–17l–168=0.

Решая его, находимl₁ = –7;l₂=24.Поскольку по условию достаточно найти только одно решение, ограничиваемся l₁=–7.Тогда находим координаты вектора (24,7). И, чтобы получить единичный вектор ‌||, мы делим координаты вектора на длину этого вектора, т.е. на 25:.

Ответ: l₁=–7,.

3. Даны координаты вектора (–2,–2) в декартовой системе координат. Вычислить координаты вектора, полученного из поворотом: a) на угол a = 120^o, б) на угол b = 90°. Пусть =. Вычислить полярные координаты точки A, если полярная ось совпадает с Ox.

Решение. Координаты вектора (x ¢, y ¢), полученного из вектора (x, y) поворотом на угол a, вычисляются по формулам:

x ¢= x ·cosa – y ·sina,

y ¢= x ·sina + y ·cosa.

(Не путать с формулами, по которым изменяются координаты данного вектора при повороте координатных осей!)

а) В нашем случае имеем cos a=–, sin a=.

x ¢=– (–2) + 2· = 2,

y ¢= –2·– 2·(–) = –2.

б) Имеем sin90°=1; cos90°= 0 и по тем же формулам находим (2,–2).

Если известны декартовы координаты точки А (x, y), то ее полярные координаты (r, φ) находятся по формулам:

r =,

cosj =, sin j =.

Декартовы координаты точки А совпадаютс координатами ее радиус-вектора. Поэтому А (–2,–2). Отсюда находим r = 4; cosj =–; sinj =–.Значит j=. А (4,).

Ответ: а) (2,–2); б) (2,–2); А (4,).

4. Даны координаты двух вершин A (3,-2), B (8,5) квадрата ABCD. Найти координаты двух других вершин.

Решение. Находим (5,7). Вектор может быть получен из поворотом на 90^о, либо на –90^о. Таким образом, задача имеет два решения.

Так же,как и в предыдущей задаче находим, что (–7,5), либо (7,–5). Для того, чтобы найти координаты точки D надо к координатам точки A прибавить координаты вектора: D (-4,3). Далее используем, что = и находим координаты C (1,10). Второй ответ ищется аналогично.

Ответ: C (1,10), D (–4,3), C ¢(15,0), D ¢(10,–8).

5. Вершины четырехугольника находятся в точках A (1,2), B (7,–6), C (11,–3), D (8,1). Показать, что ABCD – трапеция. Найти длины оснований трапеции, ее площадь и cosÐ DAB.

Решение. Находим координаты векторов (6,–8), (4,3), (–3,4),(7,–1). Проверяем векторы, определяемые противоположными сторонами четырехугольника на коллинеарность:

– = – – верно, значит коллинеарен.

= – неверно, значит неколлинеарен.

Таким образом, в четырехугольнике две противоположные стороны коллинеарны, а две – нет. Значит это – трапеция, и основаниями являются AB и CD. Находим длины сторон:

½½ = = 10,

и аналогично ½½= 5; ½½=5; ½½= 5.

Обозначим a =Ð BAD.

cos a = = =,

следовательно Ð BAD = 45^o. Не во всех вариантах может получиться табличный угол, поэтому далее действуем так: зная cosa,находим

sina = =.

Tогда h =½½· sin a= 5. Зная высоту и длины оснований находим площадь: S =(AB + CD)· h =.

Ответ: ½½ = 10, ½½= 5, cos a =, S_ABCD =.

6. Дано ½½= 10, ½½ = 3, a=Ð(, )=30^o. Найти площадь треугольника, построенного на векторах = –3 и =2+5, отложенных из одной точки. Найти длину медианы, исходящей из этой же точки.

Решение. Площадь параллелограмма построенного на векторах и , численно равна модулю их векторного произведения. Площадь треугольника, построенного на этих векторах равна половине площади параллелограмма: S_Δ= ½´½. Пользуясь свойствами и определением векторного произведения находим

½´½=½(–3)´(2+5)½=½ ´ +5´–3´–15´½=

=½ + 5´+3´ +15½= 8½´½= 8½½·½½·sina =

= 8·10·3· =120.

S_Δ= ½´½= 60.

Если AD – медиана D ABC, то = (+). В нашем случае, если

– вектор, задающий медиану, то = (+) = +.

Нам требуется найти длину этого вектора. Самое первое следствие из определения скалярного произведения: скалярный квадрат вектора ²=· равен квадрату его длины ½½². Имеем

½½²=· = ( +)·(+)= ²+ 3·+²=

= ½½²+ 3½½·½½· cosa +½½²=

= ·100 + 3·10·3· + 9 = 234+45.

Значит, ½½=.

Ответ: S _Δ= 60, длина медианы равна.

Подчеркнем, что ни в коем случае нельзя использовать обозначение ²вместо ´; ²означает ·. Особо обращаем внимание, что при решении использовалось свойство ´=– ´.

7. Докажите, что векторы (10,11,2) и (10,–10,5) отложенные из одной точки, можно взять в качестве ребер куба, и найдите третье ребро куба, исходящее из этой же точки.

Решение. Для того, чтобы векторы и могли служить ребрами куба, они должны быть друг другу перпендикулярны и иметь одинаковую длину. Проверяем:

· = 10·11 + 11·(–10) + 2·5 = 0 Þ ^,

| | = = 15,

| | = = 15.

Вектор, задающий третье ребро куба, должен быть перпендикулярен и и должен иметь одинаковую с ними длину.

Согласно определению векторного произведения вектор ´ будет перпендикулярен и. Выясним, какую он будет иметь длину:

½´½=½½ · ½½ × sinÐ(,) = 15·15· sin90^o= 225.

Искомый вектор должен иметь длину 15. Следовательно, = ´. Находим

´ = = 75 i –30 j – 210 k, (5, –2,–14).

Очевидно, что вектор = – тоже удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: (5, –2,–14), (–5, 2,14).

8. Даны координаты вершин треугольной пирамиды SABC: A (4,0,1), B (5,–1,1), C (4,7,–5), S (7,5,2). Найти объем пирамиды, площадь основания ABC и высоту (с помощью векторного и смешанного произведений). Найти угол Ð BAC. Укажите, какой вектор перпендикулярен основанию. Изобразите данную пирамиду в декартовой системе координат.

Решение. Находим координаты трех векторов, лежащих на ребрах пирамиды и исходящих из одной вершины:

(1,–1,0), (0,7,–6), (3,5,1).

Модуль смешанного произведения этих векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Объем же пирамиды составляет 1/6 от объема параллелепипеда: V =½½.

Смешанное произведение можно вычислить так:

Но, поскольку для вычисления площади основания нам понадобится векторное произведение ´, то намного проще воспользоваться определением смешанного произведения: =(´)·. При этом, вероятность арифметической ошибки будет намного меньше. Рекомендуем для проверки правильности вычислений использовать оба способа.

´ = = i – j + k = 6 i +6 j +7 k.

S _{Δ ABC}= ½´½= =.

(´)· =6×3+6×5+7×1=55. V =½(´)·½=.

C другой стороны, V = S_{Δ ABC} · h . Отсюда h = = = 5.

Согласно определению векторного произведения вектор ´ перпендикулярен и. Поэтому вектор = ´ будет перпендикулярен основанию пирамиды; (6,6,7).Угол Ð BAC ищется так же, как и в задаче5.

Построим изображение данной пирамиды в декартовой системе координат Оxyz.

Ответ: V =, S _{Δ ABC}=, h = 5, (6,6,7).

9. Вычислить площадь треугольника ABC, если вершина A находится в полюсе, а две другие имеют заданные полярные координаты: B (6,), C (4,). Найти длину BC. Изобразить данный треугольник.

Решение. Нарисуем чертеж к задаче, построив точки B и C по их полярным координатам. Из чертежа и геометрического смысла полярных координат находим, что