Определение величин осевых моментов инерции

Относительно главных центральных осей

На основании свойства о том, что момент инерции сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции элементов этого сечения, вычисленного относительно той же оси, имеем

.

Для вычисления моментов инерции элементов сечения относительно главной центральной оси y₀ воспользуемся формулами изменения моментов инерции при параллельном переносе осей:

,

где - момент инерции I элемента относительно собственной центральной оси y₁ ( справочная величина), А ₁ - площадь I элемента ( справочная величина), величина определяет расстояние между осями y₀ и y₁ .

;

см (см. рис.3).

Момент инерции второй фигуры относительно оси y₀

;

см;

см⁴, т.к.

фигуры II и III находятся на одинаковом расстоянии от оси y₀.

Окончательно, момент инерции составной фигуры относительно оси y₀

.

Момент инерции составной фигуры относительно оси z₀

.

Момент инерции первой фигуры относительно оси z₀

см⁴,

т.к. оси z₀ и z₁ совпадают.

Для вычисления моментов инерции II и III элементов сечения относительно главной центральной оси z₀, воспользуемся формулами изменения моментов инерции при параллельном переносе осей.

,

где - момент инерции II элемента относительно собственной центральной оси z₂ ( справочная величина), А ₂ - площадь II элемента ( справочная величина), величина определяет расстояние между осями z₀ и z ₂.

см⁴=2854 см⁴;

см;

см⁴, т.к.

фигуры II и III находятся на одинаковом расстоянии от оси z₀.

 

Момент инерции составной фигуры относительно оси z₀

.

Моменты инерции относительно главных центральных осей округляем до трех значащих цифр.

Вычисление значения главных радиусов инерции сечения и момента

Сопротивления относительно оси симметрии

Радиусы инерции относительно главных центральных осей определяются по следующим формулам:

;

.

 

Момент сопротивления сечения относительно оси z₀ вычисляем по формуле

,

где y_мах- максимальное расстояние от оси z₀ до наиболее удаленной точки сечения.

В нашем случае, y_мах= см, поэтому

.

 

Задача 2. Для плоской фигуры, состоящей из элементов I, II, III, IV, V с одной осью симметрии ( рис.4), требуется:

 

1. Определить положение центра тяжести. Построить главные центральные оси.

2. Найти значения главных центральных моментов инерции.

3. Вычислить значения главных радиусов инерции сечения и момента сопротивления относительно оси симметрии.

4. Вычертить сечение в масштабе на миллиметровке формата А4 с указанием всех размеров и осей.

 

Решение

 

Используя приведенные выше справочные данные, на миллиметровке вычерчиваем сечение, состоящее из элементов I, II, III, IV и V в масштабе с указанием всех осей и необходимых размеров в сантиметрах (рис.4). На рис.4 в рамках показаны размеры, взятые из справочных данных, остальные получены в ходе расчета.