Размерность и базис линейного пространства

Размерностью линейного пространства называется величина равная наибольшему числу имеющемуся в нем линейно независимых векторов. Например, на прямой существует один линейно независимый вектор, а любые два вектора – линейно зависимы. Следовательно, прямая представляет одномерное пространство - R¹. На плоскости существуют два линейно независимых вектора, а любые три – линейно зависимы. Следовательно плоскость является двухмерным пространством R². В пространстве существует три линейно независимых вектора. Поэтому размерность пространства равна трем – R³.

В линейном пространстве размерности n-Rⁿ должны существовать n независимых векторов , а любые n+1 векторов должны быть линейно зависимы. Выберем в этом пространстве еще один вектор , тогда совокупность векторов , - линейно зависима, так как их число равно n+1>n. Поэтому найдется такой набор чисел λ_1,λ_2,…λ_n, что . При этом λ≠0 т.к. в противном случае вектора - линейно зависимы. Отсюда вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов . . Предположим, теперь, что ; ; , тогда (1). Докажем теперь единственность такого разложения методом отпротивного. Пусть существует другое разложение вектора по векторам т.е. . Тогда или , но по условию линейно независимы, поэтому для выполнения равенства необходимо чтобы ; ; . Следовательно мы доказали, что любой вектор может быть, и притом единственный образом, представлен в виде линейной комбинации линейно независимых векторов (). Совокупность таких векторов и называется базисом n-мерного линейного пространства, а числа () – координаты вектора в этом базисе. Число этих векторов равно рангу системы. Так в R¹любой вектор . На плоскости R² , где и - неколлинеарные вектора этой плоскости. И, наконец, в пространстве , где , и - три некомпланарных вектора пространства.

Разложение (1) можно более коротко записать в виде или просто - в соответствии с правилом получившем название «соглашение о суммировании» - предложенном А.Эйнштейном. Индекс k называется индексом суммирования.

Следует отметить, что при заданном базисе векторы пространств R¹, R², R³- определяются своими координатами, т.е. эти пространства могут быть рассмотрены как частные виды пространства Rⁿ при n=1,2,3.

3.3. Разложение вектора в ортогональном базисе.

Рассмотрим базис пространства Rⁿ, в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса. ; - по условию ортогональности при i≠j, ,j=(1,2,…n).

Ортогональные базисы удобны потому, что координаты разложения произвольного вектора определяются очень просто без трудоемких вычислений.

Действительно, разложим произвольный вектор в ортогональном базисе. Составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами в данном базисе:

(1)

умножим обе части этого равенства, представляющие собой вектора, на вектор .

В силу свойств скалярного произведения векторов, получим:

Однако, в силу взаимной ортогональности векторов базиса, все скалярные произведения векторов базиса, за исключением первого, равны нулю, т.е. коэффициент x₁ будет определятся по формуле

 

Умножая поочередно (1) на другие базисные векторы получим общую формулу для коэффициентов разложения вектора .

 

;

 

Частным случаем ортогонального базиса является случай, когда все векторы имеют единичную длину | |=1; в таком случае базис называют нормированным и координаты разложения имеют наиболее простой вид:

i=1,2,….n

Переход к новому базису.

Пусть B=() и B'=() старый и новый базисы линейного векторного пространства Rⁿ. Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

 

 

 

Или

 

 

 

Или в сокращенной матричной форме:

 

 

,где

 

 

T - называется матрицей перехода от старого базиса к новому . Следует обратить внимание на то, что координаты разложения нового базиса по старому базису располагаются в матрице перехода по столбцам. Матрица перехода от нового базиса к старому имеет вид:

T^-1; B =B′ ·T^-1;

Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть некоторый вектор имеет координаты (x₁ x₂ …х_n) в старом и (x'₁, x'₂,...x'_n) в новом, тогда

Подставив сюда разложение векторов () по базису(),получим:

 

+

Перенесем все влево и сгруппируем слагаемые с одинаковыми сомножителями

 

 

 

Это равенство выполняется при условии, что все коэффициенты перед равны 0. следовательно:

 

 

Или в матричной форме:

 

 

или X=TX¹

 

 

Линейные операторы.

Пусть Rⁿ₁ R^m₂-линейные пространства размерности n и m. Если задан закон (правило),по которому каждому вектору x пространства Rⁿ₁ ставится в соответствии единственный вектор y пространства R^m₂, то говорят, что задан оператор действующий из Rⁿ₁ в R^m₂ и записывают эту операцию . Оператор называется линейным, если для любых векторов x и y пространства Rⁿ и любого числа λ выполняются соотношения:

 

1)

2)

 

Вектор -называется образом вектора ,а сам вектор – прообразом вектора .

Если пространства Rⁿ₁ и R ^m ₂ совпадают, то оператор отображает пространство Rⁿ₁ в себя. Именно такие операторы мы и будем рассматривать.

Пусть в пространстве Rⁿ задан базис( ₁, ₂,.. _n).Произвольный вектор может быть разложен по этому базису:

Выясним, что собой представляет оператор , для этого подействуем на вектор оператором :

 

Поскольку (i=1,2..n) является вектором Rⁿ то их также можно разложить по базису ( ₁, ₂,.. _n):

 

и тогда

 

(1)

 

С дpугой стороны по определению, есть некоторый вектор , и имеет в том же базисе ( ₁, ₂,.. _n), координаты y₁,y₂...y_n и поэтому он может быть разложен по этому базису:

(2)

Разложение вектора по базису единственно, поэтому правые части (1) и (2) равны следовательно:

 

Или в матричной форме

Таким образом, действие линейного оператора на вектор сводится к умножению некоторой матрицы P=( _ij) на матрицу столбец, составленный из координат вектора . Матрица P называется матрицей линейного оператора в базисе ( ₁, ₂,.. _n), а ранг матрицы рангом оператора . Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе и наоборот.

Зависимость между матрицами одного и того же оператора в разных базисах выражается теоремой.

Теорема1. матрицы P и P' линейного оператора , в старом базисе ( ₁, ₂,.. _n) и новом связаны соотношениями:

, где Т – матрица перехода от старого базиса к новому.

Теорема2. О пределитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.