Случайные величины и независимы. Найти дисперсию случайной величины , если из- известно, что , . 5 страница

Подставив φ(x)=π /4,f(x)=1/(b-a) и выполнив интегрирование, получим

D[π /4]=( /720) ).

№319 Ребро куба x измерено приближенно, причем a . Рассматривая ребро куба как случайную величину X,распределенную равномерно в интервале (a,b),найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

Решение

1.Найдем математическое ожидание площади круга – случайной величины Y=φ(K)= - по формуле

M[φ(X)]=

Поставив φ(x)= ,f(x)=1/(b-a) и выполнив интегрирование, получим

M( )= .

2.Найдём дисперсию площади круга по формуле

D [φ(X)]= - .

Подставив φ(x)= ,f(x)=1/(b-a) и выполнив интегрирование, получим

D = .

 

№320 Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X-в интервале (a,b),Y-в интервале (c,d).Найти математическое ожидание произведения XY.

Решение

Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

M(XY)=

 

№321 Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X- в интервале (a,b), Y – в интервале (c,d). Найти дисперсию произведения XY.

Решение

Воспользуемся формулой

D(XY)=M[

Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, поэтому

D(XY)=M (*)

Найдем M по формуле

M[φ(X)]=

Подставляя φ(x)= ,f(x)=1/(b-a) и выполняя интегрирование,получим

M (**)

Аналогично найдем

M (***)

Подставив M(X)=(a+b)/2, M(Y)=(c+d)/2,а так же (***) и (**) в (*),окончательно получим

D(XY)= -[ .

№322 Математическое ожидание нормально распределённой случайной величины X равно a=3 и среднее квадратическое отклонение σ=2.Написать плотность вероятности X.

Решение

Воспользуемся формулой:

f(x)= .

Подставляя имеющиеся значения получим:

f(x)= = f(x)= .

№323 Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X, зная, что M(X)=3, D(X)=16.

Решение

Воспользуемся формулой:

f(x)= .

Для того, чтобы найти значение σ воспользуемся свойством, что среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии. Следовательно σ=4, M(X)=a=3. Подставляя в формулу получим

f(x)= = .

№324 Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью

f(x)= . Найти математическое ожидание и дисперсию X.

Решение

Воспользуемся формулой

f(x)= ,

где a -математическое ожидание, σ -среднее квадратическое отклонение X. Из этой формулы следует, что a=M(X)=1. Для нахождения дисперсии воспользуемся свойством, что среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии. Следовательно D(X)= =

Ответ: математическое ожидание равно 1; дисперсия равна 25.

Бондарчук Родион

№ 325

Дана функция распределения нормированного нормального закона . Найти плотность распределения f(x).

Решение:

Зная, что , находим f(x).

Ответ:

 

№ 327

Доказать, что функция Лапласа . нечетна: .

Решение:

Произведем замену

Делаем обратную замену и получаем:

= =

Ч.Т.Д.

№ 328Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (12,14).

Решение: Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид:

, равна:

Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

- функция Лапласа.

где

Воспользуемся формулой

Подставляя

, получим:

По таблице находим:

Искомая вероятность равна:

№ 329Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15,25).

Решение: Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид:

, равна:

Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

- функция Лапласа.

где

Воспользуемся формулой

Подставляя

и принимая во внимание, что

нечетная, получим:

По таблице находим:

Искомая вероятность равна:

№ 330Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55мм; б) меньше 40мм.

Решение: Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид:

, равна:

Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

- функция Лапласа.

где

Поскольку фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68мм, то вероятность, что длина всех деталей заключена в интервале (32,68), равна 1, т.е.

Воспользуемся формулой

, и получим:

По таблице находим:

Тогда

а) Вероятность, что длина больше 55см равна:

б) Вероятность, что длина меньше 40см равна:

№ 331Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением о=10мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15мм.

Решение: Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид:

, равна:

Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

- функция Лапласа.

где

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа

, равна:

В частности, если a=0, то справедливо равенство:

Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, поэтому применима

формула:

Положив

, находим:

По таблице находим:

Тогда искомая вероятность равна:

№ 332Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением а=20г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10г.

Решение: Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид:

, равна:

Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

- функция Лапласа.

где

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа

, равна:

В частности, если a=0, то справедливо равенство:

Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, поэтому применима

формула:

Положив

, находим:

По таблице находим:

Тогда искомая вероятность равна:

№ 333Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением о=20мм и математическим ожиданием а=0. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4мм.

Решение: Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид:

, равна:

Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

- функция Лапласа.

где

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа

, равна:

В частности, если a=0, то справедливо равенство:

Найдем для начала вероятность того, что ошибка не превзойдет по абсолютной величине 4мм, при одном испытании.

Математическое ожидание a = 0, поэтому применима формула:

Положив

, находим:

По таблице находим:

Тогда искомая вероятность равна:

Пусть А - событие состоит в том, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4мм, причем p = 0,1586. Это означает, что ошибка не превзойдет 4мм. либо при одном измерении, либо при двух, либо при трех измерениях. Однако, вероятность искомого события можно найти, рассмотрев противоположное событие - ни при одном измерении ошибка не превзойдет 4мм, т.е. по формуле Бернулли (p = 0,1586, q = 1 - 0,1586 = 0,8414):

Тогда вероятность события А равна:

№ 334Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со среднеквадратическим отклонением о=0,4мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.

Решение: Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид:

, равна:

Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

- функция Лапласа.

где

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа

, равна:

В частности, если a=0, то справедливо равенство:

Так как X - отклонение (диаметра шарика от проектного размера), то

. Подставив

Таким образом, вероятность отклонения, меньшего 0,7мм, равна 0,92. Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 100 окажутся годными.

Воспользуемся формулой:

, получим:

№ 335Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением а=5мм и математическим ожиданием a=0. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

Решение: Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид:

, равна:

Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

- функция Лапласа.

где

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа

, равна: