Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и с помощью элементарных преобразований

Определители 2 и 3-го порядков. Вычисление определителя n-го порядка. Свойства определителей 3-го порядка.

Вычисление определителей второго порядка.

Определитель второго порядка (матрицы размера 2 на 2) вычисляется по правилу:

Запомнить просто: произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус

произведение элементов, стоящих на побочной.

Вычисление определителей третьего порядка.

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу:

Запомнить порядок сомножителей, конечно же, очень трудно, если не знать

визуального представления этого правила, которое называется правило треугольников:

Здесь схематично показано, какие сомножители соседствуют в слагаемых.

Определителем n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме всевозможных произведений элементов взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца.

Знак каждого слагаемого определяется числом инверсий в перестановках составленных из первых и вторых индексов сомножителей: если оно четное «+», нечетное «-».

Инверсия - когда большее число стоит перед меньшим.

Св-ва определителей:

1. В определителе строки и столбцы равнозначны.

2. Если все Эл-ты в строке или столбце = 0, то определитель =0.

 

Обратная матрица и ее построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Матричный метод решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений.

Матрица А наз. невырожденной,если ее определитель не равен 0

Матрица А^-1 наз. обратной к матрице А,если АА^-1= А^-1А=Е, где Е-единичная матрица. Всякая невырожденная матрица имеет единствен. обратную матрицу.

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем:

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:АХ=В, где А — основная матрица системы, В и Х — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на А^-1 — матрицу, обратную к матрице А:А^-1(АХ)= А^-1В Так как А^-1А=Е, получаемХ= А^-1В. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы

 

Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и с помощью элементарных преобразований.

Наибольший из порядков миноров данной матрицы отличный от нуля называется рангом матрицы.

rank A = rg A = r

Свойства ранга:

- при транспонировании матрицы ранг не меняется

- если вычеркнуть из матрицы нулевую строку, то ранг не меняется

- ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над строками матрицы.

Максимальный порядок r отличных от нуля миноров матрицы A называется ее рангом, а любой минор порядка r, отличный от нуля - базисным минором.

Основные методы вычисления ранга матрицы:

Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден минор k-го порядка M, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k+1)− го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор M: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (k+1)−го порядка, и вся процедура повторяется.

Метод элементарных преобразований основан на том, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Используя эти преобразования матрицу можно привести к такому виду, когда все ее элементы кроме a11,a22,...,arr (r≤min(m,n)), равны нулю. Следовательно, ранг матрицы равен r.