РОЗДІЛ 10. Розрахунок інтегральної квадратичної оцінки системи. Знаходження оптимальний коефіцієнт підсилення регулятора

 

Інтегральні оцінки якості дають загальну оцінку швидкості затухання та відхилення регульованої величини в перехідному процесі.

Вони діляться на лінійні і квадратичні. До коливних затухаючих перехідних процесів можуть бути застосовані лише квадратичні інтегральні оцінки якості. Найпростіша квадратична оцінка якості керування є функціоналом від динамічної помилки системи і визначається за формулою:

.

Динамічна похибка виражає миттєве відхилення регульованої величини від її усталеного значення:

.

Інтегральна оцінка може бути виражена через зображення Лапласа від динамічної похибки системи:

.

Для визначення квадратичної оцінки за зображенням динамічної похибки на практиці використовують формулу Рейлі, яку отримують з /26/ шляхом заміни

.

Розроблені різні методи обчислення квадратичної оцінки на основі формули Рейлі. Зокрема, Мак–Леном отримані вирази для квадратичних оцінок якості керування для випадку, коли зображення динамічної похибки системи є дробово-раціональною функцією:

- зі степенем полінома чисельника меншим на одиницю від степені полінома знаменника.

За методом Мак–Лена спочатку знаходять зображення динамічної похибки системи за формулою:

,

- де - передаточна функція замкненої системи, - зображення вхідної дії.

За виглядом зображення динамічної похибки вибирають вираз для визначення квадратичної оцінки якості. Якщо зображення динамічної похибки системи третього порядку має вигляд:

,

то квадратичну оцінку якості знаходять за формулою

.

Інтегральні оцінки якості використовуються для знаходження оптимальних настроювальних параметрів системи. Наприклад, оптимальне значення коефіцієнта передачі регулятора k_р при якому інтегральна оцінка якості приймає мінімальне значення знаходять з умови:

.

Аналогічно можна знайти оптимальне значення іншого параметра при фіксованому значенні вже визначеного параметра.

Розрахуємо інтегральну квадратичну оцінку якості системи. Запишемо передаточну функцію замкнутої системи:

Для того щоб знайти інтегральну квадратичну оцінку спочатку знайдемо зображення динамічної помилки:

де - передаточна функція замкненої системи, - зображення вхідної дії, .

За виглядом зображення динамічної похибки вибирають вираз для визначення квадратичної оцінки якості. Якщо зображення динамічної похибки системи третього порядку має вигляд:

то квадратичну оцінку якості знаходять за формулою:

Прирівнявши коефіцієнти при відповідних степенях p отримаємо:

, , , , , Знайдемо оптимальне значення коефіцієнта підсилення k_п, для цього приймемо його за невідомий. В результаті отримаємо:

, , ,

, , ,

Вираз для обчислення інтегральної квадратичної оцінки у цьому випадку запишеться наступним чином:

Визначимо частинну похідну скориставшись програмою Matlab:

>> c=[2445526849.52 22982887373.05 1687066703.9094 31105741.86]

c = 1.0e+010 *

0.2446 2.2983 0.1687 0.0031

>> z=[-461790120.04 1505755911.79 3887584837.64 287404217.87 10619410.99 196158.62]

z = 1.0e+009 *

-0.4618 1.5058 3.8876 0.2874 0.0106 0.0002

>> [p,r]=polyder(c,z)

p = 1.0e+019 *

0.2259 2.8157 -6.6097 -9.6194 -1.3253 -0.0602 -0.0009 0.0000

r = 1.0e+019 *

0.0213 -0.1391 -0.1323 1.1442 1.5969 0.2266 0.0166 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000

де p – чисельник виразу частинної похідної

Прирівняємо чисельник отриманої похідної до 0 і знайдемо корені рівняння

скориставшись Matlab:

ans =

-31.8318

13.1826

0.0749

-0.0372

-0.0371 + 0.0002i

-0.0371 - 0.0002i

-0.0368 + 0.0002i

-0.0368 - 0.0002i

-0.0367

Отже оптимальні значення коефіцієнта передачі регулятора

Для цих значень в програмі Simulink побудуємо модель системи автоматичного регулювання температури та шляхом моделювання побудуємо перехідну характеристику.

Рис 10.1. Модель САР температури при оптимальному коефіцієнті передачі регулятора

Рис 10.3. Перехідні характеристика при оптимальних коефіцієнтах передачі регулятора та

Перехідні характеристики при різних значеннях коефіцієнтів передачі будуть мати вигляд:

При

Рис 10.3. Перехідна характеристика при оптимальному коефіцієнті передачі регулятора .

 

При

Рис 10.4. Перехідна характеристика при оптимальному коефіцієнті передачі регулятора .

Висновок: в даному розділі ми проводили розрахунок інтегральних квадратичних оцінок системи. В ході знаходження оптимального коефіцієнта підсилення регулятора з отриманих графіків видно, що при присутнє перерегулювання, яке лежить в необхідних межах і час регулювання зменшується. При перерегулювання взагалі відсутнє, але значно зростає час регулювання.