Какова общая постановка задач теории игр? Как решаются задачи различных типов в среде Excel?

Задачи теории игр позволяют принимать управленческие решения в условиях неопределенности. Наиболее просты парные игры с нулевой суммой. Это игры, в которых выигрыш одного участника уравновешивается проигрышем другого. Существуют игры, в которых конкуренты стремятся нанести друг другу наибольший ущерб. Такое управление называется управлением в условиях жесткой конкуренции (или в условиях конфликта). В то же время существуют случаи безразличного отношения к результатам игры одного из партнеров. Такие игры называются "играми с природой".

В любой игре каждый из участников имеет заранее намеченные варианты поведения (например, варианты структуры и объема закупок товаров с одной стороны, и структуру спроса товаров – с другой). Эти варианты называются чистыми стратегиями. Зная чистые стратегии, нетрудно просчитать экономические последствия реализации каждой пары чистых стратегий игроков. Эти результаты имеют численное выражение и образуют платежную матрицу.

Рассмотрение множества формулировок задач позволяет сделать вывод, что существует несколько обобщенных вариантов формулировки задач:

· задачи, решающиеся в чистых стратегиях;

· задачи, имеющие решения в смешанных стратегиях при известных вероятностях выбора чистых стартегий;

· задачи, имеющие решения в смешанных стратегиях при неизвестных вероятностях выбора чистых стартегий.

Подготовку данных на листе Excel можно проводить в трех блоках: блок расчета параметров вариантов стратегии игрока А, блок расчета параметров вариантов стратегии игрока Б, блок расчета экономических результатов применения каждой пары вариантов стратегий обоих игроков. Платежная матриц входит в четвертый блок – блок расчета параметров оптимальной стратегии. Четвертый блок имеет несколько вариантов построения, зависящих от формулировки задачи. Варианты схем решения задач различных типов для игры размером 2х2 приведены на рис. 1, 2, 3.

Рис. 1. Схема решения задачи теории игр в чистых стратегиях

На рис. 1 в столбце Min найдены минимальные числа Mn1 и Mn2 в строках платежной матрицы, в строке Max – максимальные числа Mx1 и Mx2 в столбцах платежной матрицы. Максимин найден как максимум из минимумов Mn1 и Mn2, а минимакс как минимум максимумов Mx1 и Mx2.

Рис. 2. Схема решения задачи в смешанных стратегиях
с неизвестными вероятностями выбора вариантов
стратегии противником

На рис. 2 платежная матрица дополнена блоком расчета параметров смешанной стратегии. В столбце q поставлены весовые коэффициенты чистых стратегий в смешанной стратегии. Сумма долей S1 должна быть равна 1. Доли не меньше нуля и не больше единицы. При оптимальной стратегии суммы чисел в столбцах максимальны и равны, т.к. являются средними выигрышами игрока А.

Рис. 3. Схема решения задачи в смешанных стратегиях
с известными вероятностями выбора
вариантов стратегии противником

На рис. 3 показан вариант решения задачи при известных вероятностях выбора чистых стратегий противником, т.е., по существу, с известной смешанной стратегией игрока Б. В этом случае игроку А нужно выбрать чистую стратегию, обеспечивающую ему наибольший выигрыш.

При решении задач, рассматривающих закупку товаров, следует иметь в виду, что объемы закупленных товаров могут быть отличными от объемов спроса. В этом случае при определении объема сбыта следует брать минимальное число из объема закупки и объема потребления, т.к. нельзя продать товара больше, чем закуплено, и больше, чем спрошено покупателями.