Типовые примеры и методы их решения. Пример 1.5.1.Предприятие получило следующие кредиты под разные простые процентные ставки:'36 тыс

Пример 1.5.1. Предприятие получило следующие кредиты под разные простые процентные ставки:'36 тыс. руб. на 240 дней под 35% годовых; 28 тыс. руб. на 150 дней под 32% годо­вых; 60 тыс. руб. на 100 дней под 38% годовых; 52 тыс. руб. на 80 дней под 34% годовых. Определите: а) средний срок кредита; б) среднюю процентную ставку; в) средний срок и среднюю процентную ставку одновременно; г) среднюю величину кредита.

Решение, а) Вначале сделаем некоторые замечания по пово­ду использования формулы (32), представляющей один из вари­антов определения среднего срока кредита. Конечно, в формуле периоды п_к измеряются в любых единицах времени (годы, кварталы, месяцы, дни и т.д.), согласованных с размерностями соответствующих процентных ставок i_k (годовые, квартальные, месячные, дневные и т.д.). Однако вид формулы (32) позволяет определять средний срок, не особенно заботясь о согласовании размерностей исходных сроков и процентных ставок. Так, если, например, сроки п_к даны в днях (вообще в любых, но единых для всех сроков единицах времени), a i_k представляют собой годовые процентные ставки, то, не занимаясь переводом п_к в годы, по формуле (32) сразу получаем средний срок л в днях. Аналогичные соображения можно высказать и в связи с приме­нением формул (30), (34), (36).

Полагаем = 36 тыс. руб., = 28 тыс. руб., P₃ = 60 тыс. руб., = 52 тыс. руб. Несмотря на то что i₁ = 035; i₂ - 032; i₃ = 038 и i₄ = 034 - годовые процентные ставки, в соответствии со сказан­ным выше, средний срок будем измерять в днях, а исходные сроки переводить в годы не будем, т.е. =240 дней, =150 дней, = 100 дней, = 80 дней. По формуле (32) получим:

дня

т.е. = 130 дней.

Если же срок каждого кредита измерять в годах, считая, что в году 360 дней, то =0,667 года, =0,417 года, n₃ =0,278 го­да, = 0,222 года и

= 0,361 года,

или = 0,361* 360 = 129,96 дня, т.е. = 130 дней. Естественно, по­лучили тот же самый результат.

Для проверки правильности результата найдем начисляемые проценты на каждый кредит при исходных сроках, считая в году 360 дней, и сложим эти проценты:

Теперь найдем сумму процентов при замене всех сроков на средний срок:

 

= 22,396 тыс. руб.

Теперь найдем сумму процентов при замене всех сроков на средний срок:

36*0.61*0.35+28*0.361*0.32+60*0.361*0.38+52*0.361*0.34=22.396 тыс.руб

 

Таким образом, получили (в пределах точности вычислений) одну и ту же сумму - 22,4 тыс. руб. Если исходный срок каждо­го кредита в годах взять с большим количеством знаков после запятой, то сумма начисляемых процентов на каждый кредит при исходных сроках составит 22,396 тыс. руб.

Формулу (32) можно записать и таким образом:

т.е. средний срок равен взвешенной сумме исходных сроков, где весом для каждого срока п_к служит доля-произведения Р_к i_k,

которую оно составляет от общей суммы причем очевидно, что сумма всех весов обязательно равна единице. Вы­полняя вычисления для данного случая, получим:

= 0,2031 + 0.1444 п_г + 0.3675 n₃ + 0.2850

Конечно, 0,2031 +0,1444 + 0,3675 + 0,2850 = 1. Заметим, что из-за приближенных вычислений сумма весов может незначи­тельно отличаться от единицы.

б) Как и в пункте а), измеряя сроки в днях, воспользуемся

формулой (30):

22,404 тыс. руб.

или 35,05%. Записывая формулу (30) таким образом:

получаем представление i в виде взвешенной суммы процент­ных ставок. Для нашего случая:

Обратим внимание на тот факт, что, применяя формулы (29), (30), (33) и (34), ставки можно выражать как в десятичных дро­бях, так и в процентах. Это утверждение следует из вида фор­мул. Если, в частности, исходные ставки даны в процентах, то в результате применения формул соответствующие ставки сразу будут выражены в процентах.

в) В этом случае нельзя одновременно применять формулы (30) и (32). Можно показать, что если средний срок кредита рас­считывается по формуле (32), то среднюю процентную ставку надо рассчитывать по формуле (29). А если средняя процентная ставка находится по формуле (30), то средний срок кредита надо находить по формуле (31). Обычно время учитывается при рас­чете среднего срока кредита. Следовательно, воспользуемся формулами (32) и (29). По формуле (32) = 130 дней, а по фор­муле (29):

= 36* 0,35+ 28 *0,32+ 60*0,38+ 52*0,34

36+28 + 60 + 52 =0.3525

т.е. отличается от 35,05% - средней процентной ставке, найден­ной в предыдущем пункте. Заметим, что, применяя формулу (29), мы фактически решаем следующую задачу: найти среднюю процентную ставку, когда кредиты выданы на одинаковый срок (130 дней).

Если бы применяли формулы (30) и (31), то =35,05% и =130,68 дней или =131 день.

По существу задача одновременного определения среднего срока кредита и средней процентной ставки имеет бесчисленное

 

множество решений, так как величины ЙиГ можно находить просто из равенства начисленных процентов:

(36 +28+ 60 +52) * =22,40,т.е. * = 0.1273.

Определяя подходящим образом , находим (или наобо­рот). Только надо учитывать соответствие размерностей и . Так, если измеряется в годах, то - годовая процентная ставка; если я измеряется в днях, то - дневная процентная ставка и т.п. Например, пусть = 130 дней, тогда

= 0,0009792,

т.е. = 0,09792% в день, или, умножая на 360, получаем 35,25%

в год.

г) Среднюю величину кредита можно определить по формуле, аналогичной формулам (30) и (32):

Подставляя вместо букв численные значения, находим, что = 40,884 тыс. руб.

Подобным образом, как и в предыдущем пункте, можно од­новременно находить среднюю величину кредита и среднюю процентную ставку или одновременно находить среднюю вели­чину кредита и средний срок, но эти задачи на практике встре­чаются реже, чем задача определения среднего срока и средней процентной ставки.

В разобранном примере значения средней процентной став­ки, найденной по различным формулам, не отличались значи­тельно друг от друга. Но так бывает не всегда.

Пример 1.5.2. Выданы следующие кредиты под простые процентные ставки: 340 тыс. руб. на 1 день под 20% годовых и 1 тыс. руб. на 340 дней под 40% годовых. Сравните между собой средние процентные ставки, определенные разными способами.

- = 0,2006,

Решение. Пусть = 340 тыс. руб., Р_г = 2 тыс. руб., = 1 день, п_г = 340 дней, = 0,2, = 0.4

Если воспользоваться формулой (29), то:

а если применить формулу (30), то:

Таким образом, , найденное по формуле (29), практически совпадает с одной из исходных процентных ставок = 20%; a , найденное по формуле (30), является средним арифметическим! ставок = 20% и i₂ = 40%. Это хорошо видно из представления! средней ставки в виде взвешенной суммы исходных ставок:

а) для формулы (29) = 0,9971 + 0,0029 i₂;

б) для формулы (3 0) = 0,5 + 0,5 i₂.

Пример 1.5.3. Заемщик взял 27 января у одного кредитора под одну и ту же простую процентную ставку в 40% суммы в размере 10 тыс. руб., 6 тыс. руб., 20 тыс. руб. и 16 тыс. руб. со сроками погашения соответственно 1 марта, 14 мая, 25 июня и 18 августа того же года. Определите средний срок погашения всех ссуд и сумму, которую заемщик должен будет отдать кре­дитору, если в расчет принимаются точные проценты с точным числом дней и согласно соглашению для кредитора важно толь­ко то, чтобы величина начисленных процентов оставалась неиз­менной. Год невисокосный.

Решение. Всего заемщик взял у кредитора сумму в 52 тыс. руб. Считая, что на эту сумму сразу начисляются проценты и так как = = i₃ = i₄ = 0,4, по любой формуле для определения средней процентной ставки получим = 0,4.

Несмотря на то что процентные ставки , , , =0.4 являются годовыми, в соответствии со сделанными выше замечаниями средний срок погашения всех ссуд будем измерять в днях и от­считывать от дня первого планового платежа, т.е. = 0, =74, =116, n₄ =170. Взятые суммы измеряем в тыс. руб.:

=10, Р₂ =6, =20, =16. Следовательно, сразу воспользо­вавшись формулой (31), являющейся в этой ситуации частным случаем формулы (32), получаем:

= 105,46 106 дней.

Отсчитывая от 1 марта 106 дней, получим 15 июня - дату, когда заемщик может отдать единовременно весь долг.

Поскольку кредитор выдал суммы 27 января, найдем, что 15 июня заемщик должен отдать долг в размере:

тыс. руб

Если бы в расчет принимались обыкновенные проценты с точным числом дней, то средний срок погашения ссуды остался бы тот же (т.е. 15 июня - дата единовременного возврата долга), однако размер возвращаемой суммы, естественно, увеличился:

= 60,031 тыс. руб.

Пример 1.5.4. Банк собирался выдать ссуды в размере 15 тыс. руб., 25 тыс. руб. и 20 тыс. руб. на сроки соответственно 2, 6 и 9 месяцев под простые ставки 36, 40 и 44% годовых, при­чем проценты удерживались сразу. Под какую единую ставку банк согласится выдать эти ссуды, если он намерен взыскать при выдаче ссуд ту же величину процентов, как в первоначаль­ном контракте с клиентом? Чему будет равен средний срок ссу­ды при таком изменении контракта?

Решение. Так как банк сразу удерживает проценты, то кли­ент на руки получает меньшую по величине ссуду, чем объявле­но банком. Например, при ссуде 20 тыс. руб. на 9 месяцев под простую ставку 44% годовых клиент получает 20(1-0,75-0,44) = 13,4 тыс. руб. и должен будет вернуть банкучерез 9 месяцев 20 тыс. руб., т.е. на сумму 13,4 тыс. руб. в тече­ние полугода фактически происходит наращение по простой учетной ставке 40%. Таким образом, при определении новой ставки можно воспользоваться формулой (34) определения среднего значения простой учетной ставки. Измеряя ссуды в тыс. руб., а сроки - в месяцах, полагаем =15, =25, =20; =2, п₂ = 6, п₃ =9; d_l =0,36, d₂ =0,4, d₃ = 0,44. Отсюда:

или 41.67%

Поскольку уже определена средняя ставка, то для нахожде­ния среднего срока воспользуемся формулой (35):

= 6 месяцев.

Если же, как это обычно делается, время учитывать при оп­ределении среднего срока, то по формулам (36) и (33) получим:

= 6.2 месяца;

или 40.33%

Пример 1.5.5. Банк выдает предпринимателю три ссуды со­ответственно на 180, 300 я 240 дней под простые ставки 38, 45 я 40% годовых. После того как банк при выдаче ссуд взыскал простые обыкновенные проценты, предприниматель получил на руки суммы 30 тыс., 20 тыс. и 50 тыс. руб. Определите средний срок ссуды.

Решение. Поскольку проценты удержаны сразу, то на выдан­ные суммы по существу происходит наращение по соответствую­щим учетным ставкам. Пусть = 30 тыс. руб., =20 тыс. руб., = 50 тыс. руб., = 0,38, d₂ = 0,45, d₃ = 0,4. Воспользуемся формулой (36). Можно либо в ней заменить F_k на , либо вначале найти F_k = ,, а затем применить формулу (36).

Поступим в соответствии с последним способом, т.е. вначале найдем суммы, которые надо вернуть банку. Обратим внимание, что в данном случае при вычислениях исходные сроки необходимо

перевести в годы: =180/360 = 0,5 года, п₂ =300/360 = 0,833 года, =40/360 = 0,667 года. Применяя формулу (20), получим:

= 37,037 тыс. руб.;

= 31,992 тыс. руб.;

= 68,194 тыс. руб.

1-0,667 0,4

А теперь воспользуемся формулой (36), причем для упроще­ния расчетов заметим, что Следовательно

 

года

т.е = 360 *0,668 = 240,48 дня. Округляя, получим средний срок

ссуды, равный 241 дню.

Полезно представлять себе и другой способ решения. Можно вначале определить по формуле (25) эквивалентные простые процентные ставки:

= 0,4691;

= 0,5456,

= 0,7198;

а затем воспользоваться формулой (30):

= 0,668 года.

Пример 1.5.6. Банк использовал в течение 4 месяцев депози­ты на суммы 40, 20 и 80 тыс. руб., размещенные соответственно на 1, 2 и 1 месяц по простым процентным ставкам 34, 30 и 42% годовых. Определите стоимость привлеченных средств за 4 ме­сяца для банка в виде средней годовой процентной ставки.

Решение. Полагаем = 40 тыс.руб тыс. руб., = 80 тыс. руб.; = 34%; i₂ m 30%; = 2% и воспользуемся формулой (29). Так как исходные ставки берем в процентам(а это, как уже отмечалось, благодаря виду формулы можно сде­лать), то и результат получим в процентах:

Заметим, что другой способ определения стоимости привле­ченных средств основан на использовании формулы (23), где через Р обозначена использованная сумма средств; через F-P - проценты, выплаченные за использование суммы Р в течение времени л. Таким образом, эта стоимость (обозначим ее через ) определяется по формуле

Поскольку для любого к = 1,2…m cправедливо показать, что для из формулы (29) выполнено нера­венство . Если , для любого к = 1,2,„.,m, то

В нашем примере = 1 месяц, = 2 месяца, = I месяц, n = 4 месяца, поэтому

Бели бы все депозиты были размещены в течение 4 месяцев, то получили бы 38%.

В ситуации, когда банк выдает денежные средства, ставки я определяют доходность для банка выданных средств. Ве­личину называют также средневзвешенной доходностью.

Задачи

1.5.1. Заемщик взял 18 мая у одного кредитора под одну и ту же простую процентную ставку в 30% суммы в размере б тыс. руб., 4 тыс. руб., 3,5 тыс. руб. и 12 тыс. руб. со сроками погаше-

ния соответственно 20 июня, 18 августа, 30 сентября и 14 октября того же года. Определите средний срок погашения всех ссуд и сумму, которую заемщик должен будет отдать кредитору, если в расчет принимаются: а) обыкновенные проценты с точным чис­лом дней; б) точные проценты с точным числом дней, и согласно соглашению дли кредитора важно только то, чтобы величина на­численных процентов оставалась неизменной. Год невисокосный.

1.5.2. Предприятие получило следующие кредиты под раз­ные простые процентные ставки: 40 тыс. руб. на 7 месяцев под 30% годовых, 60 тыс. руб. на 9 месяцев под 36% годовых и 30 тыс. руб. на 4 месяца под 26% годовых. Определите: а) средний срок кредита; б) среднюю процентную ставку; в) средний срок и среднюю процентную ставку одновременно; г) среднюю вели­чину кредита. В расчетах полагать год равным 360 дням.

1.5.3. Выданы следующие кредиты под простые процентные ставки: 150 тыс. руб. на 2 дня под 15% годовых и 2 тыс. руб. на 300 дней под 25% годовых. Определите двумя способами сред­ние процентные ставки.

1.5.4. Выданы три кредита под разные простые процентные ставки: 42,5 тыс. руб. на 100 дней под 40% годовых, 37 тыс. руб. на 140 дней под 30% годовых и третий кредит на 200 дней под 60% годовых. Найдите величину третьего кредита, если средняя процентная ставка составляет 50%.

1.5.5. Выданы три кредита под разные простые процентные ставки: 35 тыс. руб. на 133 дня под 45% годовых, 19,5 тыс. руб. на 275 дней под 30% годовых и 42,75 тыс. руб. на 111 дней. Найдите величину процентной ставки, под которую выдан тре­тий кредит, если средний срок кредита составляет приблизи­тельно 139 дней.

1.5.6. Банк собирался выдать ссуды 10 тыс. руб., 40 тыс. руб. и 20 тыс. руб. на сроки соответственно 2, 5 и 7 месяцев под простые ставки 34, 40 и 42% годовых, причем проценты удерживались сра­зу. На какой единый срок банк согласится выдать эти ссуды, если он намерен взыскать при выдаче ссуд ту же величину процентов, как в первоначальном контракте с клиентом? Чему будет равна средняя ставка при таком изменении контракта?

1.5.7. Банк выдает клиенту три ссуды соответственно на 120, 270 и 150 дней под простые ставки 38, 45 и 42% годовых. После того как банк при выдаче ссуд взыскал простые обыкновенныепроценты, клиент получил на руки суммы 10 тыс. руб., 16 тыс. руб. и 24 тыс. руб. Определите: а) средний срок ссуды; б) сред­нюю ставку; в) средний срок и среднюю ставку одновременно; г) среднюю величину ссуды.

1.5.8. Банк использовал в течение полугода депозиты на суммы 50, 30 и 90 тыс. руб., размещенные соответственно на 3, 1 и 2 месяца. Депозиты размещены по простым процентным ставкам соответственно 26, 20 и 32% годовых. Определите стоимость привлеченных средств за полгода для банка в виде средней годовой процентной ставки. Каким еще образом можно оценить стоимость привлеченных средств?

1.5.9. Банк в течение 4 месяцев выдавал следующие одноме­сячные кредиты на условиях начисления простых процентов: 80 тыс. руб., 30 тыс. руб., 70 тыс. руб. и 20 тыс. руб. соответствен­но по процентным ставкам 38, 32, 35 и 30% годовых. Определите средневзвешенную доходность кредитных операций за 4 месяца.

1.5.10. Банк в течение 4 месяцев выдал четыре одномесяч­ных кредита на условиях начисления простых процентов соот­ветственно по процентным ставкам 30, 24, 26 и 20% годовых. Средневзвешенная доходность кредитных операций за все время оказалась равной 26,625%. Определите величины кредитов, если первый из них больше на 20 тыс. руб. второго, на 10 тыс. руб. третьего и на 50 тыс. руб. четвертого кредита.

Валютные расчеты

Основные положения

В( процессе взаимного обмена национальных валют уста­навливается их курс, представляющий собой цену денежных единиц одной страны, выраженную в денежных единицах дру­гой страны. Само определение курса валют называется их коти­ровкой. Полная котировка предполагает определение курса по­купателя (покупки) и курса продавца (продажи), согласно кото­рым банки покупают и продают валюту. Единица низшего раз­ряда установленной котировки называется пунктом.

Курс валют в зависимости от формы его выражения назы­вается обменным или девизным. Обменный курс показывает, сколько единиц отечественной валюты можно получить в обмен на единицу иностранной, т.е. это цена иностранной валюты, вы­раженная в единицах отечественной валюты. Девизный курс, являясь обратной величиной к обменному, показывает, сколько единиц иностранной валюты можно получить за единицу отече­ственной, т.е. это цена отечественной валюты, выраженная в единицах иностранной валюты. Определение обменного курса также называют прямой котировкой, а девизного курса - кос­венной котировкой.

• Кроме обменного и девизного используются также и кросс-курсы валют, представляющие собой соотношения между двумя валютами, следующие из их курсов по отношению к некоторой

третьей валюте.

• Девизы называются конвертируемыми, если есть возмож­ность их свободного обмена (конверсии) на валюту других стран по действующему курсу.

• Финансовая операция, связанная с инвестированием де­нежных средств в валюте, в общем виде представляет собой по­следовательность следующих действий: конвертирование средств в другую валюту; размещение на рынках финансовых инструментов полученных средств на некоторый срок; обратная конвертация средств, полученных от инвестирования, в исход­ную (или иную) валюту.

Вопросы для обсуждения

1. Что понимается под курсом валюты?

2. Что такое котировка валют? Из чего состоит полная коти­ровка валют?

3. Что означает термин "девизы"? Что показывает девизный

курс?

4. Как называется единица низшего разряда объявленной коти­ровки валют?

5. Чем отличается обменный курс от девизного? Можно ли, зная обменный курс, указать девизный, и наоборот?

6. Каким еще образом называют обменный и девизный курсы? 7. Какие девизы называются конвертируемыми?

8. Как соотносятся между собой до величине курсы покупки и продажи валюты при прямой котировке?

9. Как соотносятся между собой по величине курсы покупки и продажи валюты при косвенной котировке?

10. Как определяется кросс-курс валют?

11. Выгодно ли российским экспортерам снижение курса рубля по отношению к доллару?

12. В каких случаях выгоднее пользоваться рублевым депози­том, а в каких - валютным?

13. Как можно определить в общем виде финансовую операцию, связанную с инвестированием денежных средств в валюте?

14. Может ли финансовая операция "конвертация - наращение -конвертация" дать отрицательную доходность в виде годо­вой простой процентной ставки?

15. Поясните, в каких случаях наращение, осуществляемое на валютном депозите, совпадает с результатом финансовой операции "конвертация - наращение - конвертация".