Відношення еквівалентності

Бінарне відношення R називається відношенням еквівалентності, якщо воно одночасно володіє трьома властивостями: рефлективністю, симетричністю й транзитивністю, тобто якщо для будь-яких виконується:

• (рефлективність);

• якщо то (симетричність);

• якщо а те (транзитивність).

Позначення еквівалентних відношень: або що означає «а еквівалентно b у відношенні », наприклад, «бути рівним на множині чисел», бути подібним на множині геометричних фігур.

Непересічні підмножини, на які розбивається множина М відношенням еквівалентності, називаються класами еквівалентності. Множина класів еквівалентності множини А відносно Q називається фактор- множиною й позначається

Наприклад, множина всіх раціональних чисел можна розбити на класи еквівалентності, для яких — раціональний дріб, де Будь-який дріб буде віднесена до того ж класу тоді й тільки тоді, коли тобто й еквівалентні, якщо (наприклад, Перевіримо здійсненність властивостей для такого відношення.

Рефлективність. Для будь-якого дробу виконується рівність значить

Симетричність. Якщо то але значить

Симетричність рівності добутків спричиняє симетричність відношень між дробами.

Транзитивність. Відомо, що Доведемо, що тобто Дійсно, тому що то аналогічно те Помножимо першу рівність на а друге на тоді маємо й По властивості транзитивності або Відомо, що такі дроби класифікуються по елементі, що породжує клас еквівалентності, яким у цьому прикладі є нескоротний дріб (наприклад, для такої буде

Бінарне відношення R називається відношенням еквівалентності, якщо воно одночасно володіє трьома властивостями: рефлективністю, симетричністю й транзитивністю, тобто якщо для будь-яких виконується:

• (рефлективність);

• якщо то (симетричність);

• якщо а те (транзитивність).

Позначення еквівалентних відношень: або що означає «а еквівалентно b у відношенні », наприклад, «бути рівним на множині чисел», бути подібним на множині геометричних фігур.

Непересічні підмножини, на які розбивається множина М відношенням еквівалентності, називаються класами еквівалентності. Множина класів еквівалентності множини А відносно Q називається фактор-множиноюй позначається

Наприклад, множина всіх раціональних чисел можна розбити на класи еквівалентності, для яких — раціональний дріб, де Будь-який дріб буде віднесена до того ж класу тоді й тільки тоді, коли тобто й еквівалентні, якщо (наприклад, Перевіримо здійсненність властивостей для такого відношення.

Рефлективність. Для будь-якого дробу виконується рівність значить

Симетричність. Якщо то але значить

Симетричність рівності добутків спричиняє симетричність відношень між дробами.

Транзитивність. Відомо, що Доведемо, що тобто Дійсно, тому що то аналогічно то Помножимо першу рівність на а друге на тоді маємо й По властивості транзитивності або Відомо, що такі дроби класифікуються по елементу, що породжує клас еквівалентності, яким у цьому прикладі є нескоротний дріб (наприклад, для такої буде