Визначення множини по Кантору. Відношення приналежності. Основні принципи теорії множин. Способи завдання множини

Поняття множини, елементи множини - первинні базисні невизначувані поняття, на яких будується теорія множин.

«Сукупність елементів, об'єднаних деякою ознакою, властивістю, відношенням до інших елементів за нашим інтуїтивним розумінням або думкою, становить поняття множини» (Г.Кантор). Наприклад, множина книг у бібліотеці, множина студентів у групі, множина натуральних чисел і т.д.

Запис означає: елемент а належить множині М, тобто елемент а має деяку ознаку даної множини. Аналогічно читаємо як: елемент а не належить множині М.

Множина вважається заданою, якщо або перераховані всі її елементи, або зазначена властивість, якою володіють ті й тільки ті елементи, які належать даній множині. Перший варіант будемо записувати так: наприклад, Останній варіант будемо записувати так: Такий запис читається як: М складається з тих (усіх) елементів b, які мають ознаку Р. Наприклад, означає: М становлять тільки ті натуральні числа, які менше п'яти. Саму властивість Р будемо називати характеристичною. Властивість як характеристична, може виступати зазначеної для цієї властивості процедури, що породжує, котра описує спосіб одержання елементів нової множини із уже отриманих елементів або з інших об'єктів. Тоді елементами множини вважаються всі об'єкти, які можуть бути отримані за допомогою цієї процедури. Наприклад, множина всіх чисел, що є ненегативними ступенями числа 2 можна задати за допомогою функції, що породжує, по індуктивним правилам:

·

· Якщо то

Отже, запис означає: множина М складається із всіх елементів х, щоволодіють ознакою Р. Наприклад, запис означає, що множина М містить тільки коріння даного рівняння, тобто числа Запис означає, що для будь-яких X відстань ОХ менше або дорівнює 4, тобто множина всіх точок, для яких відстань до X не більше 4, є колом з центром у точці О і радіусом R = 4. Запис читається так: для будь-яких натуральних х, починаючи з 7. Відзначимо, що в записі змінна х є «німою», тобто несуттєвою: від неї нічого не залежить. Можна було б ужити будь-яку іншу букву, наприклад y,і однаково це була б «множина всіх елементів, що володіють ознакою Р»,а як називати елементи — несуттєво: головне, щоб вони мали ознаку.

Якщо множина не містить елементів, що володіють характеристичною ознакою, то вона називається порожньою і позначається Наприклад, множина цілих рішень нерівності є порожньою: Порожньої буде множина дійсних рішень рівнянь і Множина, що не є порожньою, називається непустою.

Чи завжди вдається, дотримуючи всі правила, задати множину? Наприклад, як задати множину всіх множин? Чи буде така множина містити себе як окремий елемент, адже по зазначеній характеристичній властивості вона повинна містити всі можливі множини, а виходить, і себе?

Зображення множин. Множини зручно зображувати за допомогою кіл Ейлера (діаграм Венна). Елементи множини зображуються точками усередині кола, якщо вони належать множині на рис. 1.1, а),і точками поза колом, якщо вони множині не належать

Рис. 1.1. Ілюстрація колами Ейлера: а) - елемент а належить множині М, елемент b не належить множині М; б)— підмножина К множини М.

Будемо також використовувати символи замість слів «для будь-яких x», «кожний елемент х» і замість слів «існує х», «найдеться хоча б один елемент x».

Із множини М можна виділити її частину (також виділенням нової характеристичної властивості або перерахуванням елементів) — множина К,всі елементи якої мають таку ж ознаку, як і елементи множини М. Множину К називають підмножиною множини M і позначають (рис. 1.1, б).

Більш строго: множина К називається підмножиною множини якщо для кожного виконується (тобто тягне Наприклад, додаючи до множини однозначних цілих чисел ознаку «число ділиться на 3», одержуємо множину Так, множина цілих чисел є підмножиною множини раціональних чисел Для числових множин справедливе співвідношення: де — множина натуральних чисел, — раціональних, — дійсних, —комплексних чисел. Для будь-якої непустої множини М можна відразу вказати дві її підмножини незалежно від складу й структури М:це вона саме й порожня. Очевидно, порожня множина втримується (є підмножиною) у будь-якій множині.

Також необхідно враховувати розходження у вживанні знаків включення й належності для множини множин. Наприклад, М — множина всіх факультетів у нашій академії, а К— факультет інформаційних технологій. Хоча К саме є множиною (складається зі студентів і співробітників — викладачів, адміністрації й ін.), вірний запис тому що факультет К є елементом усієї множини М. Запис невірний, тому що множини К і М містятьрізні елементи: К — людей, М — факультети. Однак, якщо розглянемо множину О — сукупність людей із всіх факультетів (наприклад, при загальному голосуванні по пекучому питанню), то, безумовно,