Логічна послідовність. Критерій логічної послідовності

Всі логічні операції мають широке застосування у звичайній мові. Але особливо важливе значення в пізнанні мають операції імплікації й еквіваленції. Розглянемо приклад. Висловлення А: «Виконав домашнє завдання» і В: «Одержав п'ятірку». Спробуємо скласти імплікацію Тоді маємо

«Якщо виконав домашнє завдання, то одержав п'ятірку». Таблиця істинності для цього висловлення прийме вид (табл. 4.7).

Аналогічні висновки можна зробити з будь-якими простими висловленнями. Наприклад, А: «Через провідник пропустили струм»; В: «Довжина провідника збільшилася».

Дійсно, висновок «Якщо через провідник пропустили струм, то його довжина збільшиться», буде помилковим, якщо струм пропущений, а довжина провідника не збільшилася. А от якщо й струм не пропускали, і довжина не збільшилася, то висновок стане істинним. Адже відсутність у предмета деякої властивості - теж властивість. Але якщо струм пропускати не стали, а довжина збільшилася, то ми говоримо, що висновок однаково істинний, тому що довжина могла збільшитися з іншої причини, наприклад під дією тепла або напружної деформації.

Імплікація не володіє комутативною властивістю, тобто якщо відомо, що то це не рівносильно імплікації що безпосередньо випливає з порівняння таблиць істинності цих двох булівих функцій. Наприклад, висловлення «Якщо через провідник пропущений струм, то його довжина збільшиться» істинно. Але про висловлення «Якщо довжина провідника збільшилася, то через нього пропустили струм» не можна сказати, істинно воно або помилково, тому що збільшення довжини провідника не є причиною того, що через цей провідник стали пропускати струм.

А для висловлення «Якщо виконав домашнє завдання, то одержав п'ятірку» зворотне - «Якщо одержав п'ятірку, то виконав домашнє завдання» - теж, загалом кажучи, невірно.

Таблиця 4.7

Таблиця істинності

 

Таблиця 4.8

Таблиця істинності

Розглянемо приклад. Позначимо через а висловлення «Деякий поїзд прибуває на дану станцію», а через b — висловлення «Подається сигнал "Шлях закритий"». Тоді імплікація означає «Якщо деякий поїзд прибуває на станцію, то подається сигнал "Шлях закритий"» або «Як тільки поїзд прибуває на станцію, подається сигнал "Шлях закритий"», а також «Для того щоб був поданий сигнал "Шлях закритий", досить, щоб поїзд прибув на станцію». Визначимо істинність похідних висловлень за допомогою табл. 4.8.

З табл. 4.8 видно, що імплікація щира в трьох випадках із чотирьох:

• поїзд прибуває, і подається сигнал «Шлях закритий»;

• поїзд не прибуває, і подається сигнал «Шлях відкритий»;

• поїзд не прибуває, і подається сигнал «Шлях закритий» (тому що шлях міг бути закритий незалежно від прибуття цього поїзда).

Імплікація помилкова тільки в одному випадку: поїзд прибуває, а подається сигнал «Шлях відкритий». Цей і інші аналогічні приклади докладно розглянуті в книзі X. Фрейденталя «Мова логіки».

У розмовній мові й при вивченні різних дисциплін необхідно добре розуміти, що є причиною (або посилкою), а що - наслідком (або висновком).

Причина, посилка, тобто висловлення, що є першим аргументом імплікації, називається достатньою умовою. Урозмовній мові це те висловлення, що перебуває між словами якщо... то, перед союзами тому, отже, значить або після союзів тому що й т.д. «Для того щоб учень одержав п'ятірку», досить «правильно виконати домашнє завдання». «Учень одержав п'ятірку», тому що «правильно виконав домашнє завдання». Ці приклади — словесна реалізація імплікації де А — висловлення «Учень правильно виконав домашнє завдання», В — «Учень одержав п'ятірку».

Наслідок, висновок, тобто висловлення, що є другим аргументом імплікації, називається необхідною умовою. Воно стоить після союзу то в пропозиціях з оборотами якщо... то, оскільки... то, тому що... то, а також по іншу від достатньої умови сторону стосовно сполучних союзів. Треба навчитися відрізняти необхідну умову від достатнього, тому що від цього залежить правильність доказу теорем і висновків у всіх областях природознавства.

Умова теореми - те, що дано в її формулюванні, - не можна плутати з висновком - тим, що вимагає доказу. А для того щоб з'ясувати, де достатня умова, а де те, що необхідно довести, треба переформулювати теорему, використовуючи слова «якщо..., то».

Наприклад, у теоремі Піфагора «У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів», треба виділити умову й висновок. Нове формулювання цієї теореми, відповідно до накладених вимог, має вигляд: «Якщо дано прямокутний трикутник, то квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів його катетів». Зрівняємо зі звичним записом умови теореми в геометрії.

Дано: — прямокутний, с — гіпотенуза, а, b — катети.

Довести:

Підкреслимо ще раз, що, загалом кажучи, імплікація не володіє комутативною властивістю: Але учні під час міркувань про цьому часто забувають. Наприклад, чи рівносильні два математичних висловлення «Вертикальні кути рівні» і зворотне: «Кути рівні, виходить, вони вертикальні»?

Перше твердження істинно, тому що доводиться відповідна теорема. Друге невірно, тому що в деяких випадках рівні кути дійсно можуть бути вертикальними, а в деяких вони можуть мати іншу причину рівності. Наприклад, вони можуть бути кутами при підставі рівнобедреного трикутника або внутрішніми навхрест лежачими кутами при паралельних прямих і січної.

Тому й говорять, що висловлення «Кути вертикальні» є достатнім для твердження «Кути рівні». А рівність кутів необхідно, щоб затверджувати, що мова йде про вертикальні кути. Невиконання необхідної умови (його хибність) спричиняє невиконання достатньої умови, наприклад «Якщо кути не рівні, то вони (у принципі) не можуть бути навхрест лежачими». Назвемо зворотним висловленням для висловлення а висловлення — протилежним до імплікації Розглянемо правила побудови зворотних висловлень (рис. 4.2). Діагональні стрілки на рис. 4.2 показують одночасну істинність (тобто еквіваленцію) відповідних висловлень. Доведемо, наприклад, рівність яку назвемо

Рис. 4.2. Правила побудови зворотних і протилежних висловлень

правилом контрапозиції (від лат. contrapositio — протиставлення).

Доказ проведемо за допомогою таблиці істинності й перевіримо на прикладі (табл. 4.9), де А:«Вертикальні кути», В:«Рівні кути», «Якщо кути вертикальні, то вони рівні», «Якщо кути не рівні, то вони не можуть бути вертикальними».

Збіг третього й шостого стовпців таблиці істинності підтверджує висновок про те, що висловлення, протилежне зворотному рівносильно основному висловленню Формула справедлива для будь-яких висловлень А і В. Тому, беручи в якості А висловлення В і навпаки, одержуємо формулу відповідну інші діагональній стрілці на рис. 4.2.