Представлення гармонічних коливань у вигляді векторної діаграми

Гармонічні коливання. Представлення гармонічних коливань у тригонометричній формі. Представлення гармонічних коливань у вигляді векторної діаграми

1. Знайомство з явищем. Людина у своєму житті дуже часто зустрічається з механічними коливаннями, так коливається струна музичного інструменту, гойдалка, тіло підвішене на пружині. В теплових двигунах коливальний рух перетворюється у інші види руху. При польоті літака здійснюються різні види коливань: коливаються його крила, фюзеляж і т.д. Тому вивчення механічних коливань має велике значення для людини.

Для опису механічних коливань введемо поняття осцилятора.

Визначення. Осцилятором називають фізичну систему, стани якої в часі описуються законом періодичності.

S(t) = S(t + T) = S (t + nТ) (16.1)

де n - ціле число; T - інтервал періодичності; S - один з параметрів системи.

При механічному коливальному русі періодично змінною величиною є відхилення осцилятора від положення рівноваги.

2. Визначення явища. Періодичне повторення механічного руху тіла називають механічним коливанням.

У загальному випадку коливання можуть бути ангармонічні (нелінійними). Ми розглянемо окремий випадок - гармонійні коливання.

Визначення. Гармонійними називають коливання, які здійснюється за законом синуса або косинуса.

Рисунок 16.1 Графік коливань

3. Умови виникнення коливань. а) коливання виникають в коливальних системах, що мають положення стійкої рівноваги. Цим положенням відповідають мінімуми потенційної енергії системи.

б) Для виникнення гармонійних коливань в будь коливальній системі мають існувати відновлюючі сили - сили пропорційні зміщенню тіла і спрямовані в бік протилежну зміщенню.

в) У початковий момент часу коливальна система повинна бути виведена з положення рівноваги.

4. Математичний опис явища.

Представлення гармонічних коливань у тригонометричній формі.

Здійснюється за допомогою графіка коливань (Рисунок 16.1), і за рівнянням коливань і його розв’язком x = Asin (ωt + φ₀); x = Asin φ, де x - зміщення маятника, А - амплітуда коливань; ω - циклічна частота коливань; t - час здійснення коливань; φ₀ - початкова фаза коливань; φ₀ - фаза коливань.

Представлення гармонічних коливань у вигляді векторної діаграми.

Визначення. Графічне зображення гармонічних коливань за допомогою обертального вектора амплітуди називається методом векторних діаграм.

Рисунок 16.2 Векторна діаграма коливань

Використовують обертальний вектор (Рисунок 16.2), для цього з початку координат 0 проводять вектор А, модуль якого дорівнює амплітуді коливань і складає з 0х кут j₀ з часом кут j збільшується так, що вектор А буде обертатись навколо 0 з кутовою швидкістю w, яка дорівнює циклічній частоті. Таким чином, проекція 0x здійснює гармонічні коливання за законом

А_x= Acos(wt+j₀)

Рисунок 16.3 Математичний маятник

5. Пояснення явища. Для виведення системи з положення рівноваги необхідний зовнішній вплив, в результаті якого робота зовнішньої сили забезпечує зростання енергії системи. За законом збереження енергії при відсутності сил тертя в замкнутій системі коливальний процес триває невизначено довгий час. В цьому випадку процес називають вільними (або власними) коливаннями осцилятора.

Математичний маятник. Пружинний маятник. Основні характеристики коливань. Фаза коливань. Початкова фаза коливань. Циклічна частота коливань. Амплітуда коливань. Період коливань. Частота коливань

Математичний маятник

Визначення. Математичним маятником називають матеріальну точку, закріплену на довгій, невагомій і нерозтяжній нитці.

З певним наближенням, важку кульку, підвішену на довгій нитці можна вважати математичним маятником.

У математичного маятника відновлююча сила (F_в ) – це рівнодійна сили тяжіння (mg) і сили пружності нитки (F_пр) (Рисунок 16.3) її розраховують за формулою F_в =mgsinα.

При відділенні маятника від вертикалі на кут α<15°, з точністю до 1%, можна вважати, що F_в =mg, де m – маса маятника, g – прискорення вільного падіння; α -. кут відхилення маятника від вертикалі, виражений в радіанах. З врахуванням того, що α = x/l, матимемо , де x проекція зміщення маятника на вісь 0x, а l – довжина маятника. З останньої формули видно, що F_в – пропорційна зміщенню, і напрямлена у бік протилежний зміщенню. Тому математичний маятник здійснює гармонічні коливання.

Рисунок 16.4 Пружинний маятник

Пружинний маятник

Визначення. Пружинний маятник – це тіло закріплене на пружині.

У пружинного маятника відновлююча сила – це сила пружності, яка виникає при деформації пружини. F_в= kx (Рисунок 16.4), де k – жорсткість пружини; х – зміщення маятника. F_в – пропорційна зміщенню, і напрямлена у бік протилежний зміщенню. Тому пружинний маятник здійснює гармонічні коливання.

*Відновлюючу силу також можна розрахувати за другим законом Ньютона F_в.=ma.