Свойства операций над событиями

Галкин С.В.

Краткий курс математического анализа

В лекционном изложении

Для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана

(третий семестр)

Вероятность

Москва 2005

Лекция1[1].

Вероятность

В теории вероятностей рассматриваются такие явления или опыты, конкретный исход которых не определяется однозначно условиями опыта (случаен), но по результатам большого числа экспериментов в среднем может быть предсказан (свойство статистической устойчивости).

Элементарным событием (элементарным исходом) называется любое событие - исход опыта, которое нельзя представить в виде объединения других событий. Так как исход опыта случаен, то и любое элементарное событие случайно, далее будем говорить просто о событиях, не подчеркивая их случайность.

Пространством элементарных событий W (исходов) называется множество всех элементарных событий (исходов). {w₁, …w_{n …}}, если в результате опыта обязательно наступает какой-либо из элементарных исходов и только один (один исход исключает любой другой). Пространство элементарных событий может содержать конечное, счетное и даже бесконечное множество элементарных событий.

Случайным событием (событием) называется подмножество пространства элементарных событий. Любое множество – это совокупность элементов. Элементами события являются элементарные события, образующие это событие.

Пример. Бросается одна монета, она может упасть гербом (w₁=Г) или решкой (w₁=Р). W=(Г,Р).

Пример. Бросаются две монеты W = {(Г, Г), (Г,Р), (Р,Г), (Р,Р)}

Пример. Капля дождя падает на прямоугольную площадку.

W= {(x,y), a<x<b, c<y<d}

Достоверное событие – событие, которое всегда происходит в результате данного опыта, оно содержит все элементарные события и обозначается W.

Невозможное событие – событие, которое не может произойти в результате данного опыта, оно не содержит элементарных событий и обозначается Æ.

Действия над событиями.

События определены как множества, поэтому действия над ними аналогичны действиям над множествами и хорошо иллюстрируются диаграммами Венна.

Пространство W будем обозначать прямоугольником, элементарное событие – точкой прямоугольника, а каждое событие – подмножеством точек этого прямоугольника. Результат операции над событиями будем заштриховывать.

Пусть выбираются карты из колоды карт. Событие А – выбор червонной карты, событие В – выбор десятки

	Суммой двух событий А и В называется событие С = А + В (или С = А В), состоящее из элементарных событий, принадлежащих либо А, либо В. Пример. С = А + В – выбор любой червонной карты или любой десятки
	Произведениемдвух событий А и В называется событие D = AB (или D = A B), состоящее из элементарных событий, принадлежащих и А и В. Пример. АВ – выбор десятки червей
	Разностьюдвух событий А и В называется событие А\В, состоящее из элементарных событий, принадлежащих А и не принадлежащих В. Пример. А\В –выбор любой червонной карты, кроме десятки Классификация событий
	Событие, состоящее из всех элементарных событий, не содержащихся в А, обозначим и будем называть противоположным событием. Пример. А –выбор червонной карты; –выбор любой карты другой масти.. = W\А Двасобытия А и В будем называть совместными, если каждое из них содержит хотя бы одно общее элементарное событие, т.е если АВ Ø. Пример. А – выбор червонной карты и В – выбор десятки – совместные события, так как АВ = выбор червонной десятки Ø Если общих элементарных событий у событий А и В нет, то их будем называть несовместными событиями (АВ = Ø). Пример. А – выпадение четного числа очков А = {2, 4, 6}. В – выпадение нечетного числа очков В = {1, 3, 5} Очевидно, что А и В несовместны. Полная группа событий – это совокупность n событий А₁, А₂, …, А_n, одно из которых обязательно произойдет, т.е.