Коефіцієнти нормальних рівнянь для витягнутого полігонометричного ходу

Надамо нормальним рівнянням відповідного вигляду, враховуючи значен­
ня коефіцієнтів табл. ІІ.8.2 і те, що- = S_t, a[S_t ] = L:

(ІІ.8.51)

Розв'яжемо систему (ІІ.8.51) відносно невідомих корелат:

Розділ II

(И.8.52) (ІІ.8.53)

Залишається знайти шукані поправки в кути v_; та в лінії со_;. Скорис­таємося уже відомою формулою (II.8.45):

Значення коефіцієнтів 6, і с, візьмемо з табл. II.8.2. Отримаємо: • для ліній:

t

(II. 8.54)

для кутів:

(ІІ.8.55)

Виправивши лінії та кути відповідними поправками, знайдемо ймовірніші координати пунктів ходу. Приклад зрівноваження витягнутого полігономет-ричного ходу буде подано в п. П.8.8.

//. 8.7. Строге зрівноваження витягнутого рівностороннього полігонометричного ходу

Поправки в лінії обчислюють за простою формулою:

(ІІ.8.56)

Оскільки — —с - стала величина для цього ходу, а лінії рівні, то поправки

Li

в лінії будуть однаковими:

(П.8.57)

Проте для обчислення поправок v₍- в кути необхідно знати абсциси точок

ходу відносно центра ваги ходу £_; та суму їхніх квадратів Јj.

Розглянемо, як зміниться формула (II.8.55) для рівностороннього ходу. Візьмемо для простоти хід із парною кількістю сторін п. Це буде справедливим

Планові геодезичні мережі

і для непарної кількості сторін. Спрямуємо вісь X уздовж ходу і за початок координат приймемо першу точку (рис. П.8.5).

Тоді: X_l = 0; X₂=S; Х₃ = 2 S. Отже, для будь-якої точки і маємо:

(ІІ.8.58)

(П.8.59) (П.8.60)

Центральну абсцису знайдемо за формулою

Визначимо абсцису точок ходу відносно центра ваги: або:

(П.8.61)

Розглянемо далі, як зміниться CM - Спочатку

знайдемо на основі (И.8.61) значення усіх C,_t. Маємо:

(П.8.62)

Такими самими за абсолютним значенням бу­дуть абсциси для другої половини точок ходу, тільки

Рис. 11.8.5. До зрівноваження витягнутого рівностороннього ходу полігонометрії

. (П.8.63)

зі знаком "плюс". Тому £,- можна подати так:

Розділ II

У квадратних дужках сума квадратів натурального ряду чисел від — до 1.

Як відомо, для такого ряду з п чисел справедлива формула

(II. 8.64)

п Для і—— маємо (помноживши і поділивши на 2 п):

Після перетворень

Отже,

(ІІ.8.65) (ІІ.8.66)

Враховуючи, що S ■ п - L, а також позначивши:

(П.8.67)

отримаємо для поправок у кути просту формулу

(П.8.68)

Зауважимо, що b_t є функцією тільки кількості сторін ходу п та номера сторони ходуг. Професором А.С. Чеботарьовим складено таблиці b_t =/(«,/). Під час обчислення поправок у кути значення Z>, вибирають з цих таблиць.

Отже, зрівноваження витягнутого рівностороннього ходу (майже рівно-стороннього) значно спрощується.

11.8.8. Приклад зрівноваження витягнутого полігонометричного ходу корелатним методом (способом найменших квадратів)

Для кращого розуміння зрівноваження витягнутого полігонометричного ходу, описаного у п. ІІ.8.6, наведемо приклад такого зрівноваження. Вико­ристовується відомість обчислення координат, в останньому стовпчику якої подано робочі формули та виконано допоміжні обчислення.

Планові геодезичні мережі

У вертикальній графі 1 виписані номери відомих та тільки що закладених пунктів, координати яких треба визначити.

У графі 2 записані виміряні кути, зокрема і прилеглі. Нев'язка в ході виявилась такою, що дорівнює , за допустимої. Ця нев'язка

майже порівну розподілена у виміряні кути з оберненим знаком. Поправки величиною 2", або 3" записані зверху над виміряними кутами. Внизу, під виміряними кутами, записані вторинні поправки, поки що невідомі. Щоб позбутися двох поправок на кожний кут, можна у графу 2 записати кути, уже виправлені первинними поправками, або доповнити відомість ще одною вертикальною графою.

Далі переходимо до обчислення дирекційних кутів, використовуючи кути, виправлені первинними поправками. Дирекційні кути записуємо у графу 3. Початковий дирекційний кут а_п = 101°38'46" і кінцевий а_к = 329°36'29", як задані, уже повинні бути записані у відомість (у графу 3). Так само в графах 10 та 11 повинні бути записані координати початкової (№ 38) та кінцевої (№ 40) точок:

Контролем правильності обчислень дирекційних кутів є формула

Тобто, послідовно обчислюючи дирекційні кути усіх ліній, використо­вуючи спочатку а„ - початковий дирекційний кут сх₃7-28 ⁼ Ю1°38'46" (наприклад, і, дійшовши до

кінцевого дирекційного кута , ми повинні отримати

точно кінцевий дирекційний кут ос_к, тому що кутова нев'язка вже врахована.

У графу 4 записують виміряні лінії. Графу 5 поки що пропускаємо. А далі виконуються обчислення наближених приростів координат за виміряними лініями S та дирекційними кутами, що подані у графі 3.

Обчислені значення Дх та Лу записують у графах 6 та 7. Розраховуються

нев'язки f_x та / і записують їх унизу відомості. Використовують, зазвичай, формули

Далі графи 8 і 9 та 10 і 11 поки що не заповнюються.

Розділ II

Заповнюють далі графу 12, в якій обчислюються наближені абсциси X'. Абсциса X' початкової точки Х^₈ = 0. Абсциса наступної точки Х'_9% дорівнює довжині лінії S₃₈_98 ⁼ 423,678 м, округленій до цілих метрів: +424. Для точки № 99 і так далі. Для кінцевої точки № 40

Х'₄₀ = +2060. Далі знаходять абсцису центра ваги ходу Х_ц:

У графі 13 обчислюють абсциси точок ходу відносно центра ваги:

У графі 14 обчислюють квадрати цих абсцис та їхню суму

Далі у допоміжній графі 15 обчислюють:

1. Поздовжній і поперечний зсуви t і и. Необхідні формули виписані у цій графі.

2. Поправки в лінії. Робоча формула: (є визнача­ється з точністю до сьомого знака після коми). Поправки у лінії у міліметрах записані у графі 4 над виміряними лініями.

Для отримання зрівноважених довжин S поправки алгебраїчно

додаються до виміряних ліній. Зрівноважені лінії подано у графі 5.

3. Поправки в кути. Робоча формула: , де(й* = р"

[У] ■

Значення со" також обчислюється з точністю до сьомого знака після коми. Поправки V* записані під виміряними кутами у графі 2. Контроль поправок у кути: [v*] = 0. Кути округляються до 1".

4. Поправки в дирекційні кути . Ці поправки записані над

приблизними дирекційними кутами у графі 3.

Щоб знайти зрівноважені дирекційні кути, ці поправки алгебраїчно додають до наближених значень дирекційних кутів. Зрівноважені дирекційні кути у відомості не записані. За бажанням їх можна записати в графу 3 під наближеними дирекційними кутами, взявши їх у дужки. Обчислення закінчуються заповненням граф 8 і 9 та 10 і 11. У графах 8 і 9 записуються ув'язані прирости координат, обчислені за зрівноваженими дирекційними кутами та довжинами ліній S¹.

Планові геодезичні мережі

Головним контролем правильності виконаного зрівноваження є рівності

Інакше кажучи, оскільки прирости координат зрівноважені, то їхні суми повинні дорівнювати різницям координат кінцевої та початкової заданих точок (не повинно бути нев'язок).

У графах 10 і 11 обчислюють кінцеві (точні) координати пунктів

Оцінка точності кутів та ліній за результатами зрівноважень може бути виконана на основі знайдених поправок.

Таблиця II.8.S