Прямоугольная декартова система координат в пространстве

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием масштабной единицы измерения длин и трёх пересекающихся в одной точке О взаимно перпендикулярных осей Ох, Оу и Оz. Точка О называется началом координат, Ох – осью ординат, Oz – осью аппликат (рисунок 8.1).

Рисунок 8.1

Пусть М – произвольная точка пространства (рисунок 8.1). Проведём через точку М три плоскости, перпендикулярные координатным осям. Точки пересечения с осями Ох, Оу и Оz обозначим соответственно М_х, М_у и М_{z .} Прямоугольными (декартовыми) координатами точки М в пространстве называются числа х ₀, у ₀ и z ₀, соответствующие точками М_х, М_у и М_z на соответствующих осях. При этом х ₀ называется абсциссой, у ₀ – ординатой, z ₀ – аппликатой точки М. То, что точка М имеет координаты х ₀, у ₀ и z ₀ обозначается: М (х ₀; у ₀; z ₀).

Плоскости Оху, Оуz и Охz называются координатными плоскостями. Они делят всё пространство на восемь частей, называемых октантами.

 

Понятие вектора

Некоторые физические величины (например: температура, масса, объём, длина) могут быть охарактеризованы одним числом, которое выражает отношение этой величины к соответствующей единице измерения. Такие величины называются скалярными. Другие величины (например: сила, скорость, ускорение) характеризуются не только числом, но и направлением. Эти величины называются векторными. Для описания таких величин в математике введено понятие «вектор».

Рисунок 8.2

Определение 8.1. Любая упорядоченная пара точек А и В пространства определяет направленный отрезок, т. е. отрезок с заданными на нём направлением. Направленный отрезок называется вектором. На рисунке направление вектора обычно изображают стрелкой. Если в упорядоченной паре точка А первая, то её называют началом вектором, а точку В – концом вектора, в этом случае вектор обозначается . Иногда векторы обозначают малыми буквами , и т. д.

Модулем вектора называется его длина. Обозначают модуль или . Нуль-вектор ( или нулевой вектор) – это вектор, начало и конец которого совпадают; обозначается он . Модуль нуль-вектора равен нулю, а направление не определено. Единичным называется вектор, длина которого равна единице.

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно (рисунок 8.2).

Векторы и называются равными (обозначается = ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные модули.

Векторы и называются противоположными (обозначается = − ), если они коллинеарны, противоположно направлены и имеют равные модули.

Три вектора , , называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.