Тема 5 спеціальні функції математичної фізики

У багатьох випадках, наприклад при використанні методу Фур’є у циліндричних чи сферичних координатах, використовують так звані спеціальні функції: циліндричні, сферичні й ін. Характерною особливістю таких функцій є те, що багато з них є розв’язками рівнянь з особливими точками вигляду

де коефіцієнт перетворюється на нуль у одній чи багатьох точках проміжку зміни змінної х.

5.1 Інтеграл Ейлера першого роду

Так називається інтеграл вигляду

. (5.1)

Інтеграл (5.1.) називається бета-функцією. Відмітимо, якщо , то інтеграл – інтеграл власний. Якщо хоча б одна з цих нерівностей порушується, то – невласний інтеграл. Покажемо, що функція збіжна. Маємо

Розглянемо інтеграл

Точка – особлива точка, якщо :

Відомо, що збіжним є інтеграл , якщо . Таким чином, збіжний при .

Аналогічним чином можна показати, що збіжним буде і інтеграл

Таким чином, є збіжною при .

Відмітимо деякі властивості бета-функції: ,
, .

5.2 Інтеграл Ейлера другого роду

Так називається інтеграл вигляду

, (5.2)

який збігається при і визначає функцію Г – гамма-функцію.

Розглянемо деякі властивості цієї функції: ,
, .

Зауваження 1. Інтеграли Ейлера першого та другого роду визначаються і для комплексних значень аргументів. У випадку комплексних та інтеграл (6.1) збіжний, якщо .

Зауваження 2. Гамма-функція – одна із найважливіших трансцендентних функцій математичного аналізу, що розповсюджує поняття факторіала на випадок комплексних значень. Знання її властивостей необхідне для вивчення інших спеціальних функцій, наприклад, циліндричних.

5.3 Функція Бесселя

Багато задач приводить до необхідності розв’язання рівнянь вигляду

, (5.3)

де – комплексна змінна, – комплекснозначний параметр.

Таке рівняння з’являється при розв’язуванні задач методом відокремлення змінних, якщо використовувати циліндричні чи полярні координати (задача про коливання круглої мембрани, про охолодження круглого циліндра й ін.).

Рівняння (6.3) називається рівнянням Бесселя. Розв’язки цього рівняння, не рівні тотожно нулю, називаються циліндричними функціями (функціями Бесселя).

Будемо шукати розв’язки рівняння (5.3) у вигляді узагальненого степеневого ряду

, (5.4)

де . Тоді

(5.5)

Перепишемо рівняння (5.3) у вигляді

, (5.6)

підставимо значення (5.4), (5.5) в рівняння (6.6), маємо:

Для того, щоб ряд (5.4) був розв’язком рівняння (5.6), необхідне виконання рівностей

З першої рівності знаходимо , оскільки . Візьмемо . Тоді з другої рівності та

(5.7)

Очевидно, що для усіх цілих невід’ємних , а

. (5.8)

Позначимо через , використовуючи властивості гамма-функції отримуємо

Таким чином, ми побудували один формальний розв’язок рівняння (5.3) у вигляді узагальненого степеневого ряду

, (5.9)

де – комплексна змінна, що належить площині із розрізом ; – параметр, що приймає дійсні або комплексні значення. Обмеження на змінну забезпечує однозначність функції і може бути відкинуте у випадку, коли – ціле число.

Доведемо, що ряд (5.9) збіжний за допомогою ознаки Д’Аламбера. Позначимо загальний член цього ряду

тоді

, . (5.10)

Отже, за ознакою Д’Аламбера, ряд (5.9) збіжний при будь-яких скінченних .

У площині із розрізом кожен член ряду (5.9) – однозначна та регулярна функція комплексної змінної. Даний ряд є збіжним для будь-яких та , причому в області і ( – як завгодно великі числа) збіжність рівномірна відносно кожної змінної. Дійсно, починаючи з деякого достатньо великого , відношення модулів наступного члену ряду до попереднього, рівне, згідно з (5.10), величині

не буде перевищувати деякого правильного додатного дробу , що не залежить від та . Звідси, за ознакою Д’Аламбера, випливає, що розглянутий ряд рівномірно збіжний у вказаній області.

Оскільки члени ряду є регулярними функціями у площині із розрізом , то сума ряду визначає деяку функцію комплексної змінної, регулярну у розглянутій області. Ця функція називається функцією Бесселя першого роду із індексом і позначається символом . Таким чином,

. (5.11)

Можна показати, що цей ряд в області його збіжності є фактичним розв’язком рівняння (5.3).

5.4 Рекурентні формули для функції Бесселя

Помножимо (5.11) на та продиференціюємо отриманий вираз по , маємо

Таким чином

. (5.12)

Аналогічним чином можна одержати

. (5.13)

Продиференціювавши ліві частини рівностей (5.12) та (5.13) отримуємо

, (5.14)

. (5.15)

Звідки

, (5.16)

. (5.17)

Додавши та віднявши рівності (5.16) та (5.17), отримаємо

, (5.18)

. (5.19)

5.5 Інтегральне представлення Пуассона функції Бесселя та його використання

Циліндричні функції допускають прості інтегральні представлення. Одне з найпростіших інтегральних представлень функції Бесселя належить Пуассону.

Розглянемо бета-функцію та її властивість . Зробимо заміну . Тоді

(5.20)

Робимо заміну , тоді

. (5.21)

Звідки

. (5.22)

Підставимо рівність (5.22) у (5.11), маємо

Змінимо порядок підсумовування та інтегрування, тоді

. (5.23)

Скористаємося властивістю гамма-функції

в якій зробимо заміну . Тоді

або

З рівності (5.23) знаходимо

Остаточно одержуємо

. (5.24)

Оскільки підінтегральна функція парна, то формулу (5.24) можна переписати так

(5.25)

Застосовуючи у формулі (5.25) заміну , отримуємо

(5.26)

Формули (5.25) та (5.26) – інтегральне представлення Пуассона.

Приймемо у (5.24) , тоді

. (5.27)

Із (5.27) випливає, що

Таким чином, для дійсних х .

Тепер зробимо заміну Тоді

. (5.28)

З рівності (5.28) випливає, що функцію Бесселя з додатним половинним індексом можна виразити за допомогою елементарних функцій. За допомогою рекурентних формул можна одержати подібний результат і для функцій з від’ємним половинним індексом. Наприклад,

5.6 Сферичні функції. Поліноми Лежандра

Сферичними функціями називаються розв’язки лінійного диференціального рівняння

, (5.29)

де – комплексна змінна, та – параметри, що можуть приймати довільні цілі додатні дійсні чи комплексні значення.

Рівняння (5.29) зустрічається у математичній фізиці при інтегруванні рівняння Лапласа у криволінійних координатах.

Найпростіший клас сферичних функцій складають поліноми Лежандра, які є розв’язками рівняння (5.29) при . Наступний за ступенем складності клас сферичних функцій утворюють сферичні функції Лежандра, які є розв’язком рівняння (5.29) при і довільному дійсному чи комплексному .

Припустимо, що у рівнянні (5.29) , тобто

. (5.30)

Покажемо, що одним із інтегралів рівняння (5.30) є функція

(5.31)

Функції (5.31) називаються поліномами Лежандра.

Позначимо

Тоді

або

. (5.32)

Продиференціюємо рівність (5.32) (n+1) раз. Отримуємо

. (5.33)

Диференціювання можна виконати за формулою Лейбніца

. (5.34)

Позначимо для першого доданка (5.33) , а для другого доданка . Зрозуміло, що в обох випадках . Маємо

або

. (5.35)

Помножимо рівність (6.35) на , маємо

або

. (5.36)

Рівність (5.36) означає, що поліноми Лежандра є розв’язками рівняння (5.30).

Знайдемо інший розв’язок рівняння (5.30), який був би лінійно незалежним з розв’язком .

Нехай та – розв’язки рівняння (5.30), тоді

Помножимо перше рівняння на , а друге – на та віднімемо отримані рівняння, маємо

. (5.37)

Проінтегруємо тотожність (5.37)

. (5.38)

Таким чином, якщо та – розв’язки рівняння (5.30), то вони пов’язані співвідношенням (5.38), у якому та можуть бути довільними. Якщо , то та лінійно незалежні. Візьмемо в якості поліноми Лежандра: . Тоді, згідно з (5.38), маємо

. (5.39)

У рівності (5.39) – лінійно незалежна функція з . Функція називається функцією Лежандра другого роду ().

Нехай , тоді

(5.40)

Візьмемо , тоді

. (5.41)

Нехай , тоді

. (5.42)

Загалом

, (5.43)

де – поліном степеня .

Оскільки функції та лінійно незалежні, то загальний розв’язок рівняння (5.30) може бути записаний у вигляді

(5.44)

де та – довільні константи.

5.7 Виробнича функція для поліномів Лежандра

Функція

(5.45)

називається виробничою функцією для поліномів Лежандра, тобто ці поліноми є коефіцієнтами розвинення цієї функції в ряд за додатними степенями :

. (5.46)

У даному випадку, – комплексна змінна, , – параметр.

Розглянемо деякі приклади використання виробничої функції:

звідки знаходимо

звідки

звідки знаходимо

Із останньої формули, зокрема, випливає, що .

5.8 Рекурентні формули для поліномів Лежандра

Маючи виробничу функцію, легко отримати рекурентні співвідношення між поліномами Лежандра.

Продиференціюємо рівність (5.45) за , отримаємо

або

. (5.47)

Звідки

. (5.48)

Внесемо всі доданки лівої частини рівності (5.48) під один знак суми, маємо

. (5.49)

Рівність (5.49) можлива лише тоді, коли коефіцієнти при степенях рівні нулю. Звідки

оскільки ,

(5.50)

Формула (5.50) – шукане рекурентне співвідношення.

Отримаємо друге рекурентне співвідношення. Розглянемо похідну

(5.51)

З іншого боку,

. (5.52)

Порівнюючи (5.51) та (5.52), отримаємо

. (5.53)

Підставимо (5.46) у (5.53), отримаємо ланцюжок рівностей

Звідки отримуємо друге рекурентне співвідношення

(5.54)

Приклад 5.1 Задача про обтікання кулі потоком ідеальної рідини.

Як відомо з гідродинаміки, потенціал швидкостей ідеальної рідини задовольняє рівняння Лапласа

де

– вектор швидкості частинки рідини.

Нехай рідина рухається відносно кулі радіуса із швидкістю у напрямку від’ємної осі (рис. 5.1)

Рисунок 5.1 – Обтікання кулі потоком рідини

За означенням потенціалу швидкості , нормальна компонента швидкості прилеглої до поверхні кулі частинки рідини

Застосуємо сферичну систему координат

Представимо потенціал швидкостей як суму

де – потенціал потоку за відсутності кулі, – потенціал збуреного потоку. Зрозуміло, що

де – радіус-вектор точки, – меридіанний кут. Для потенціалу маємо таку задачу:

(5.55)

. (5.56)

Рівняння Лапласа в сферичній системі координат таке

(5.57)

Із міркувань симетрії зрозуміло, що не залежить від кута , тобто . Тому можна відкинути останній доданок у рівності (5.57) та шукати розв’язок задачі (5.55), (5.56) у вигляді

Оскільки змінні в рівнянні (6.56) можна відокремити, отримуємо два рівняння

(5.58)

(5.59)

Рівняння (5.59) відноситься до типу рівнянь Ейлера. Шукаємо його розв’язок у вигляді ; тоді характеристичне рівняння таке

(5.60)

З іншого боку, розв’язками рівняння (5.58) є поліноми Лежандра

при цьому . Дійсно, зробимо заміну незалежної змінної в рівнянні (5.58) та позначимо . Тоді

Таким чином, замість рівняння (5.58) маємо

або, враховуючи, що

(5.61)

Рівняння (5.61) є рівнянням Лежандра, його розв’язками, обмеженими у точках , є поліноми Лежандра , причому .

Таким чином, із (5.60) за теоремою, оберненою до теореми Вієта, знаходимо .

Розв’язок зовнішньої задачі, обмежений на нескінченності, відшукується у вигляді ряду

Підставимо цей ряд у (6.56)

Враховуючи, що , отримуємо

Тому шуканий потік визначається потенціалом швидкості

Таким чином, потенціал обтікання кулі поступовим потоком

Відмітимо, що з крайової умови (5.56) та значення першого полінома Лежандра можна було одразу здогадатись, що розв’язок такий

Детальне дослідження наведено з метою формування навичок розв’язування задач з більш складними крайовими умовами у сферичній системі координат.

Питання для самоперевірки

1. Які функції називається спеціальними? Наведіть приклади спеціальних функцій.

2. Сформулюйте визначення бета-функції за допомогою невласного інтеграла.

3. Перерахуйте основні властивості бета-функції.

4. Дайте означення гамма-функції та запишіть формулу, що пов’язує бета - та гамма-функції.

5. Перерахуйте основні властивості гамма-функції.

6. Запишіть рівняння Бесселя індексу .

7. Встановіть залежність, що існує між функціями Бесселя індексу та .

8. Отримайте рекурентні формули для функцій Бесселя.

9. Отримайте інтегральне представлення для функцій Бесселя.

10. Наведіть приклади застосування інтегрального представлення Пуассона.

11. Які з циліндричних функцій можна виразити через елементарні?

12. Які спеціальні функції називаються сферичними?

13. Напишіть рівняння, розв’язками якого є поліноми Лежандра.

14. Напишіть рівняння, розв’язками якого є сферичні функції Лежандра.

15. Як пов’язані між собою будь-які два розв’язки рівняння Лежандра? Напишіть формулу.

16. Як визначається функція Лежандра другого роду? Запишіть формулу.

17. Яка функція є виробничою функцією для системи поліномів Лежандра?

18. Наведіть приклади застосування виробничої функції для поліномів Лежандра.

19. Отримайте рекурентні формули для поліномів Лежандра.

20. Дайте розв’язок задачі про обтікання кулі потоком ідеальної рідини.

Завдання для самостійної роботи

1. Обчислити інтеграли

2. Обчислити (виразити через елементарні функції)

3. Обчислити за формулою (6.31) при

4. Записати загальний розв’язок рівняння .

5. Записати загальний розв’язок рівняння .

6. Записати загальний розв’язок рівняння .

7. Написати рівняння, розв’язком якого були б функції

8. Написати інтегральне представлення Пуассона функції

9. Знайти температуру нескінченного циліндра радіуса за умови, що на його поверхні підтримується температура, рівна нулю, а початкова температура дорівнює .

10. Вивчити віссесиметричні коливання круглої мембрани радіуса , викликані ударним імпульсом , прикладеним у момент та розподіленим по площі круга радіуса , – поверхнева густина мембрани, а початкові умови такі: .

11. Навести загальний розв’язок задачі про коливання кільцевої мембрани, закріпленої на колах та при довільних початкових умовах

12. Дослідити вільні пружні поперечні коливання круглої плити радіуса із жорстко закріпленим краєм при довільних початкових умовах

13. На круглу мембрану, закріплену по краю, діє зовнішня гармонічна сила , неперервно розподілена по усій площі мембрани. Перевірте, що вимушені коливання мембрани такі де – радіус мембрани.

14. Обчислити інтеграли

15. Знайти температуру нескінченного циліндра радіуса за умови, що на його поверхні підтримується температура, рівна нулю, а початкова температура дорівнює .

16. Знайти закон вирівнювання вісьосиметричного початкового розподілу температури у нескінченному циліндрі радіуса , бічна поверхня якого теплонепроникна.

17. Написати рівняння, розв’язком якого були б функції

18. Циліндр радіуса нагрівають до температури , а потім охолоджують з поверхні таким чином, що її температура поверхні, починаючи з моменту часу , підтримується сталою та рівною нулю. Знайти закон охолодження циліндра, вважаючи, що розподіл температури в усіх поперечних перерізах однаковий.

19. Знайти температуру круглого нескінченного циліндра радіуса за умови, що на його поверхні відбувається конвективний теплообмін із середовищем, температура якого дорівнює нулю, а початкова температура дорівнює . Розглянути окремий випадок, коли

20. В циліндрі радіуса та висотою протягом експерименту температура нижньої основи та бічної поверхні дорівнює нулю, а температура верхньої основи є функцією від . Вказівка: для розв’язання задачі потрібно знайти такий інтеграл рівняння Лапласа, який би задовольняв умови
.

21. Вивчити вісьосиметричні коливання круглої мембрани радіуса , викликані ударним імпульсом , прикладеним у момент та розподіленим по площі круга радіуса , – поверхнева густина мембрани, а початкові умови такі:
.

22. Розв’язати задачу 19 з припущенням, що бічна поверхня циліндра покрита теплонепроникним чохлом. Вказівка: третю крайову умову в задачі 19 замінити на .

23. Розв’язати задачу 19 з припущенням, що бічна поверхня циліндра вільно охолоджується у повітря, яке має нульову температуру. Вказівка: третю крайову умову в задачі 19 замінити на .

24. Центр круглої мембрани відхилений при на малу висоту . Початкові швидкості точок мембрани рівні нулю. Дослідити коливання мембрани. Вказівка: початкові умови такі:

25. Навести загальний розв’язок задачі про коливання кільцевої мембрани, закріпленої на колах та при довільних початкових умовах

26. Циліндр, радіус якого і висота , має температуру обох основ, рівну нулю, а температура бічної поверхні є функцією від . Знайти стаціонарну температуру внутрішніх точок.

27. Розкласти функцію на інтервалі , якщо