Тема 2 зведення рівнянь другого порядку до канонічного вигляду за допомогою заміни змінних 6 страница

Крім того, перш ніж будувати зображення, необхідно врахувати що стандартна циліндрична система координат в Maple визначена таким чином, що побудова поверхонь в ній здійснюється, коли задається залежність радіуса від висоти, а не висоти від радіуса, як зазвичай прийнято. Тому визначимо власну систему координат cylind так, щоб залежність задавалась звичним чином.

> addcoords(cylind,[z,r,phi],[r*cos(phi),r*sin(phi),z]);

Тепер створюємо анімацію. Необхідно відзначити, що хоча функція і не залежить від кута phi, діапазон його зміни все ж необхідно задавати. Крім того, важливо на якому проміжку часу відображається функція і скільки при цьому складових доданків ряду. На рисунках можна прослідкувати як змінюється стан системи на протязі 1 секунди
(рис. 3.10-3.13).

>plots[animate3d](U(rho,t,5),rho=0..1,phi=0..2*Pi,t=0..1, cords=cylind,axes=FRAME,titlefont=[HELVETICA,BOLD,12]);

Коливання круглої мембрани. Перший кадр (початковий).

Коливання круглої мембрани. Третій кадр.

Коливання круглої мембрани. П’ятий кадр.

Коливання круглої мембрани. Восьмий кадр.

З процедурами відтворення анімації необхідно працювати дуже обережно. Наприклад. Якщо збільшити часовий проміжок, то одержимо дещо іншу ситуацію. На рисунках (3.14–3.16) можна бачити три кадри підряд, на яких зображено стан мембрани в різні моменти часу.

>plots[animate3d](U(rho,t,5),rho=0..1,phi=0..2*Pi,t=0..5, coords=cylind,axes=FRAME,titlefont=[HELVETICA,BOLD,12]);

Коливання круглої мембрани. Другий кадр.

Коливання круглої мембрани. Третій кадр.

Коливання круглої мембрани. Четвертий кадр.

Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте узагальнений принцип суперпозиції.

2. Що називається власною функцією задачі?

3. Що таке власне значення задачі?

4. Скільки власних функцій може відповідати даному власному значенню?

5. Напишіть інтеграл Ейлера-Пуассона.

6. Виконайте процес відокремлення змінних у випадку хвильового рівняння малих поперечних коливань струни.

7. Виконайте процес відокремлення змінних у випадку хвильового рівняння теплопровідності.

8. Виконайте процес відокремлення змінних у випадку хвильового рівняння поширення тепла у нескінченному стержні.

9. Дати означення лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами та визначника Вронського. Сформулювати і довести теорему про структуру загального розв’язку лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку.

10. Охарактеризуйте функцію Лапласа.

11. Сформулюйте умову Діріхле для розвинення функції у ряд Фур’є.

12. Чому при розв’язанні характеристичного рівняння обирається константа із знаком мінус?

13. Яке рівняння називається однорідним диференціальним рівнянням у частинних похідних другого порядку? Наведіть приклади таких рівнянь.

14. Обчисліть інтеграл Ейлера-Пуассона.

Завдання для самостійної роботи

Завдання 3.1

Знайти розв’язок рівняння коливання струни , яке задовольняє початкові умови

, , при t>0 та 0≤ х ≤ L

і крайові умови

, та .

Завдання 3.2

Знайти закон розподілу температури U(x,t) всередині стержня розміщеного на відрізку [ 0,L ], якщо в початковий момент температура всередині стержня була рівною U(x,0)=φ(x). На кінцях стержня підтримується нульова температура.

Знайти розв’язок рівняння , що задовольняє крайові умови і початкову умову