Тема 2 зведення рівнянь другого порядку до канонічного вигляду за допомогою заміни змінних 3 страница

Завдання 2. 2

В кожній області, де зберігається тип рівняння, звести його до канонічного вигляду.

 

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

 

 

Завдання 2.3

Знайти розв’язок задачі Коші, використовуючи формулу Д’Аламбера

1. ,   2. ,   3. ,   4. ,   5. ,   6. ,   7. ,   8. ,   9. ,   10. ,   11. ,   12. ,   13. ,   14. ,   15. ,

16. ,   17. ,   18. ,   19. ,   20. ,   21. ,   22. ,   23. ,   24. ,   25. ,   26. ,   27. ,   28. ,   29. , 30. ,

ТЕМА 3 МЕТОД ФУР'Є

Метод Фур’є, або метод відокремлення змінних, є одним із найбільш розповсюджених методів розв’язування диференціальних рівнянь у частинних похідних. Цей метод базується на узагальненому принципі суперпозиції: якщо кожна з функцій є розв’язком однорідного лінійного диференціального рівняння, то ряд також є розв’язком цього рівняння, якщо він збігається до деякої функції і можливе його почленне диференціювання.

 

 

3.1 Розв’язання методом Фур’є першої крайової задачі для рівняння малих поперечних коливань струни

Нехай маємо рівняння малих поперечних коливань струни з крайовими умовами та початковими умовами ; .

Будемо шукати розв’язок рівняння (1.3), що задовольняє крайові умови (1.4), у вигляді добутку двох функцій Х(х) і Т(t):

 

. (3.1)

 

Щоб визначити функції Х(х) і Т(t), підставимо розв’язок (3.1) у рівняння (1.3). Для цього спочатку знайдемо

 

, . (3.2)

 

Тоді отримаємо

 

, (3.3)

або

 

. (3.4)

 

Рівність (3.4) має місце лише у випадку, коли обидва співвідношення дорівнюють константі.

Нехай , де . Звідки отримуємо два лінійних однорідних диференціальних рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

 

(3.5)

 

та

. (3.6)

 

Характеристичні рівняння рівнянь (3.5) та (3.6) такі

(3.7)

та

(3.8)

Враховуючи (3.7) та (3.8) одержуємо загальний розв’язок рівняння (3.5)

 

(3.9)

 

та рівняння (3.6)

 

. (3.10)

Коефіцієнти А та В мають бути такими, щоб функція задовольняла крайові умови .

Звідки , тому .

Оскільки , то

 

, , , де . (3.11)

 

При цьому λ називають власним значенням функції , а функції називають власними функціями.

Зауваження. Припустимо, що ми взяли не , а наприклад , тоді розв’язком рівняння буде функція . В цьому випадку не існує таких значень А та В, при яких функція задовольняла б крайові умови.

Таким чином, розв’язок рівняння малих поперечних коливань струни (1.3) такий:

 

(3.12)

або

, де і . (3.13)

 

Загальний розв’язок хвильового рівняння згідно з узагальненим принципом суперпозиції шукається за формулою:

 

. (3.14)

 

Рівняння (3.14) буде розв’язком рівняння (1.3) тоді, коли коефіцієнти та будуть такими, що збіжним буде як ряд (3.14), так і ряди, отримані після двократного диференціювання ряду (3.14) за змінною і за змінною .

Розв’язок рівняння (3.14) має задовольняти початкову умову , тому

 

. (3.15)

 

Якщо функцію на проміжку можна розкласти у ряд Фур’є, то рівність (3.15) виконується лише тоді, коли

 

. (3.16)

 

Щоб знайти коефіцієнти скористаємось другою початковою умовою .

Маємо

 

. (3.17)

 

Згідно з (3.17)

 

. (3.18)

 

Якщо на проміжку функція розвивається у ряд Фур’є, то рівність (3.18) має місце лише у випадку, коли

 

,

 

. (3.19)

 

 

3.2 Розв’язання методом Фур’є першої крайової задачі для рівняння теплопровідності

 

Розглянемо випадок, коли зовнішнє джерело тепла відсутнє, тобто

 

.

Знайдемо розв’язок однорідного рівняння теплопровідності

 

(3.20)

 

на відрізку , який задовольняє однорідні крайові умови:

 

, (3.21)

 

і початкову умову

 

, . (3.22)

Будемо шукати розв’язок рівняння (3.20), що задовольняє крайові умови (3.21), у вигляді добутку двох функцій Х(х) і Т(t):

 

. (3.23)

 

Щоб знайти функції Х(х) і T(t), підставимо розв’язок (3.23) у рівняння (3.20). Для цього спочатку знайдемо

 

і .

Тоді отримаємо:

 

.

 

Відокремивши змінні, матимемо:

 

. (3.24)

 

Ліва частина тотожності (3.24) залежить тільки від t, а права – тільки від х. Знак рівності між ними можливий тоді і тільки тоді, коли обидві частини дорівнюватимуть деякій сталій величині, яку ми позначимо через , де - поки що невідома стала.

Отже, матимемо:

 

. (3.25)

 

(знак „мінус” береться для того, щоб виконувалися крайові умови).

Звідки отримаємо два звичайні лінійні однорідні диференціальні рівняння для знаходження функцій T(t) і X(x).

 

, (3.26)

 

. (3.27)

 

Розв’яжемо рівняння (3.26) – це лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Складемо характеристичне рівняння:

 

.

 

Тоді загальний розв’язок рівняння (3.26) матиме вигляд:

 

, (3.28)

 

де С₁ – невідома стала.

Розв’яжемо рівняння (3.27). Це також лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Складемо характеристичне рівняння:

 

.

 

Тоді загальний розв’язок рівняння (3.27) матиме вигляд:

 

, (3.29)

 

де С₂, С₃ – невідомі сталі.

Отже, розв’язок рівняння (3.20) матиме вигляд:

 

. (3.30)

 

Визначимо невідомі сталі С₁, С₂, С₃ і значення параметра , для чого скористаємося крайовими умовами (3.21).

Перша крайова умова дає

.

Звідки

.

Друга крайова умова дає

.

Припустити, що ми не можемо, оскільки за цієї умови розв’язок (3.30) стає тотожно рівним нулю. Отже,

 

.

Маємо тригонометричне рівняння, з якого знайдемо параметр . Розв’язуючи це рівняння матимемо:

, .

Звідси

 

, .

Для параметра ми отримаємо безліч значень:

 

, , , …, . (3.31)

 

Перше значення нас не цікавить, оскільки воно знову перетворює в нуль увесь розв’язок.

Отже, розв’язок рівняння (3.20) має такий вигляд:

 

,

 

де для можна взяти будь-яке значення з (3.31), крім .

Позначимо

 

.

Тоді

 

. (3.32)

 

Підставивши в (3.32) будь-які значення з (3.31), ми отримаємо безліч розв’язків, причому для кожного з яких довільна стала А може набувати різних значень. Отже, частинними розв’язками задачі (3.20)-(3.21) за умови, що , є функції:

. (3.33)

 

Оскільки рівняння (3.20) є лінійним, то згідно з узагальненим принципом суперпозиції загальний розв’язок рівняння теплопровідності (3.20) має вигляд:

 

. (3.34)

 

Ця функція задовольняє крайові умови. Будемо вимагати виконання початкової умови (3.22)

 

, (3.35)

 

тобто, A_n є коефіцієнтами Фур’є функції при розкладанні її в ряд за синусами на інтервалі (0; l). Тому коефіцієнти A_n визначаються за формулами:

 

n = 1, 2, 3, …. (3.36)

 

Покажемо, що ряд (3.34) задовольняє усі умови першої крайової задачі, тобто, що - диференційовна в області , > 0 задовольняє рівняння (3.20) і неперервна в точках границі цієї області.

Оскільки рівняння (3.20) – лінійне, то ряд, складений з його частинних розв’язків, є розв’язком, якщо він є рівномірно збіжним.

Покажемо, що ряди

 

і

 

рівномірно збіжні для , де – будь-яке допоміжне число.

Дійсно,

 

< .

Будемо вимагати, щоб функція , була обмеженою, тобто <М. Тоді з рівності (3.36) випливає, що

<2М.

 

Отже,

< , .

 

Аналогічно

 

< , .

Розглянемо мажорантний ряд

 

(3.37)

 

і дослідимо його на збіжність.

Запишемо загальний член ряду (3.37)

 

.

 

Знайдемо наступний член

 

.

 

Скористаємося ознакою Д’Аламбера. Обчислимо

 

0<1.

 

Отже, ряд (3.37) збігається.

На основі ознаки Вейєрштрасса ряд (3.34) збігається рівномірно. Тому його можна диференціювати скільки завгодно разів для .

Таким чином, функція , визначена рядом (3.34), задовольняє рівняння (3.20) для всіх t > 0.