Момент импульса частицы. Момент силы

Анализ поведения систем показывает, что кроме энергии и импульса существует еще одна механическая величина, с которой также связан закон сохранения,-это так называемый момент импульса. Используют также названия момент количества движения, вращательный момент, угловой момент, или просто момент.

Что это за величина и каковы ее свойства?

Сначала возьмем одну частицу. Пусть - радиус-вектор, характеризующий ее положение относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета, а - ее импульс в этой системе. Моментом импульса частицы А относительно точки O (рис. 6.1) называют вектор , равный векторному произведению векторов и :

 

	(6.1)
Рис. 6.1. Определение вектора момента импульса

Из этого определения следует, что является аксиальным вектором. Его направление выбрано так, что вращение вокруг точки O в направлении вектора образуют правовинтовую систему. Модуль вектора равен

 

,

(6.2)

где - угол между векторами и плечо вектора относительно точки О (рис. 6.1).

Выведем уравнение, описывающее изменение во времени вектора . Его называют уравнением моментов. Для вывода необходимо выяснить - какая механическая величина ответственна за изменение вектора в данной

системе отсчета. Продифференцируем уравнение (6.1) по времени:

 

Так как точка O неподвижна, то вектор равен скорости частицы, т. е. совпадает по направлению с вектоpом , поэтому

 

Используя второй закон Ньютона, получим где равнодействующая всех сил, приложенных к частице. Следовательно,

Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют моментом силы относительно точки О (рис. 6.2). Обозначив ее буквой , запишем

Рис. 6.2. Определение вектора момента cилы

Вектор как и , является аксиальным. Модуль этого вектора, аналогично (6.2), равен

 

(6.4)

где плечо вектора относительно точки O (рис. 6.2). Итак, производная по времени от момента импульса частицы относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета равна моменту равнодействующей силы относительно той же точки O:

 

(6.5)

Это уравнение называют уравнением моментов. Заметим, что если система отсчета является неинерциальной, то момент силы включает в себя как момент сил взаимодействия, так и момент сил инерции относительно той же точки O.

Из уравнения моментов (6.5), в частности, следует, что если то . Другими словами, если относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета момент всех сил, действующих на частицу, равен нулю в течение интересующего нас промежутка времени, то относительно этой точки момент импульса частицы остается постоянным в течение этого времени.

Пример 1. Некоторая планета А движется и поле тяготения Солнца С (рис. 6.3). Относительно какой точки гелиоцснтричсской системы отсчета момент импульса данной планеты будет сохраняться во времени?

Для ответа на этот вопрос, прежде всего, необходимо установить, какие силы действуют на планету А. В данном случае это только сила тяготения

со стороны Солнца. Так как при движении планеты направление этой силы

.

Рис. 6.3. Движение планеты в поле тяготения Солнца

все время проходит через центр Солнца, то последний и является той точкой, относительно которой момент силы все время равен нулю и момент импульса планеты будет оставаться постоянным. Импульс же планеты при этом будет меняться.

Пример 2. Шайба А, двигаясь по гладкой горизонтальной плоскости, упруго отскакивает от гладкой вертикальной стенки (рис.6.4, вид сверху). Найти точку, относительно которой момент импульса шайбы будет оставаться постоянным в этом процессе.

Рис. 6.4. Определение моментов при упругом ударе

На шайбу действуют сила тяжести, сила реакции со стороны горизонтальной плоскости, сила реакции со стороны стенки в момент удара о нее. Первые две силы уравновешивают друг друга, остается сила . Ее момент равен нулю относительно любой точки, лежащей на линии действия вектора , а значит, относительно любой из этих точек момент импульса шайбы будет оставаться постоянным в данном процессе.

Пример 3. На горизонтальной гладкой плоскости находятся неподвижный вертикальный цилиндр и шайба А, соединенная с цилиндром нитью АВ (рис. 6.5, вид сверху). Шайбе сообщили начальную скорость , как показано на этом рисунке. Есть ли здесь точка, относительно которой момент импульса шайбы будет оставаться постоянным в процессе движения?

Рис. 6.5. Определение точки постоянного момента при движении

В данном случае единственная некомпенсированная сила, действующая на шайбу А, - это сила натяжения со стороны нити. Нетрудно видеть, что точки, относительно которой момент силы в процессе движения был бы все время равен нулю, здесь нет. А следовательно, нет и точки, относительно которой момент импульса шайбы оставался бы постоянным. Этот пример показывает, что не всегда существует точка, относительно которой момент импульса частицы оставался бы постоянным.

Уравнение моментов (6.5) позволяет получить ответ на два вопроса:

1) найти момент силы относительно интересующей нас точки O в любой момент времени t, если известна зависимость от времени момента импульса частицы относительно той же точки;

2) определить приращение момента импульса частицы относительно точки O за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы , действующего на эту частицу относительно той же точки O.

Решение первого вопроса сводится к нахождению производной по времени от момента импульса, т. е. , которая и равна, согласно (6.5), искомому моменту силы .

Решение же второго вопроса сводится к интегрированию уравнения (6.5). Умножив обе части этого уравнения на dt, получим - выражение, которое определяет элементарное приращение вектора . Проинтегрировав это выражение по времени, найдем приращение вектора за конечный промежуток времени t:

 

(6.6)

Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют импульсом момента силы. В итоге получено следующее утверждение: приращение момента импульса частицы за любой промежуток времени равно импульсу момента силы за это же время. Рассмотрим два примера.

Пример 1. Момент импульса частицы относительно некоторой точки меняется со временем t по закону где и некоторые постоянные взаимно перпендикулярные векторы. Найти момент силы , действующий на частицу, когда угол между векторами и окажется равным 45°.

Согласно (6.5), т.е. вектор , все время совпадает по направлению с вектором . Изобразим векторы и некоторый момент t (рис. 6.6). Из этого рисунка видно, что угол =45° в момент , когда Отсюда и .

Рис. 6.6. Определение момента силы по заданному закону изменения импульса частицы

Пример 2. Камень А массы т бросили под углом к горизонту с начальной скоростью . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимость от времени момента импульса камня относительно точки бросания О (рис. 6.7).

За промежуток времени dt момент импульса камня относительно точки

Рис. 6.7. Определение момента импульса частицы в поле тяжести Земли.

О получит приращение . Так как то Проинтегрировав это выражение с учетом того, что в момент получим . Отсюда видно, что направление вектора остается неизменным в процессе движения (вектор направлен за плоскость, рис. 6.7.

Рассмотрим теперь понятия момента импульса и момента силы относительно оси. Выберем в некоторой инерциальной системе отсчета произвольную неподвижную ось . Пусть относительно некоторой точки О на оси момент импульса частицы А равен , а момент силы, действующий на частицу, .

Моментом импульса относительно оси z называют проекцию на эту ось вектора , определенного относительно произвольной точки О данной оси (рис. 6.8). Аналогично вводят и понятие момента силы относительно оси. Их

Рис. 6.8. Определение момента импульса и момента силы относительно оси

обозначают соответственно и . Далее мы увидим, что значения этих проекций и не зависят от выбора точки О на оси z.

Выясним свойства этих величин. Спроектировав (6.5) на ось z, получим

 

(6.7)

т. е. производная по времени от момента импульса частицы относительно оси z равна моменту силы относительно этой оси. В частности, если то . Другими словами, если момент силы относительно некоторой неподвижной оси z равен нулю, то момент импульса частицы относительно этой оси остается постоянным. При этом сам вектор может и меняться.

Пример: Небольшое тело массы m, подвешенное на нити равномерно движется по горизонтальной окружности (рис.6.9) под действием силы тяжести Относительно точки О момент импульса тела - вектор - находится в одной плоскости с осью z и нитью. При движении тела вектор под действием момента силы тяжести все время поворачивается, т. е. меняется. Проекция же остается при этом постоянной, так как вектор перпендикулярен

Рис. 6.9. Определение проекций моментов на неподвижную ось

Найдем теперь аналитические выражения для и . Нетрудно видеть, что эта задача сводится к нахождению проекций на ось z векторных произведений и .

Воспользуемся, цилиндрической системой координат связав с частицей А (рис. 6.10) орты направленные в сторону возрастания соответствующих координат. В этой системе координат радиус-вектор и импульс частицы записывают так:

 

где - проекции вектора на соответствующие орты. Из векторной алгебры известно, что векторное произведение можно представить

Рис. 6.10. Нахождение аналитических выражений для проекций и

определителем

 

Отсюда сразу видно, что момент импульса частицы относительно оси z

 

(6.8)

где - расстояние частицы от оси z. Преобразуем это выражение к виду, более удобному для практических применений. Учитывая, что получим

 

(6.9)

где - проекция угловой скорости, с которой поворачивается радиус-вектор частицы.

Аналогично (6.8) записывается и момент силы относительно оси z:

 

(6.10)

где проекция вектора силы на орт

Обратим внимание, что проекции и действительно не зависят от выбора точки О на оси z, относительно которой определены векторы и . Кроме того, видно, что и - величины алгебраические, их знаки соответствуют знакам проекций и .

 

 

Основое уравнение динамики вращательного движения материальной точки - угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции.

 

М = E*J или E = M/J

 

Сравнивая полученное выражение со вторым законом Ньютона с поступательным законом, видим, что момент инерции J является мерой инертности тела во вращательном движении. Как и масса величина аддитивная.

 

Момент инерции тонкого кольца:

Момент инерции

 Для вычисления момента инерции мы должны мысленно расчленить тело на достаточно малые элементы, точки которых можно считать лежащими на одинаковом расстоянии от оси вращения, затем найти произведение массы каждого элемента на квадрат его расстояния от оси и, наконец, просуммировать все полученные произведения. Очевидно, это весьма трудоемкая задача. Для подсчета
моментов инерции тел правильной геометрической формы можно воспользоваться в ряде случаев приемами интегрального исчисления.
 Нахождение конечной суммы моментов инерции элементов тела заменим суммированием бесконечно большого числа моментов инерции, вычисленных для бесконечно малых элементов:

lim_{i = 1}^∞ΣΔm_ir_i² = ∫r²dm. (при Δm → 0).

 Вычислим момент инерции однородного диска или сплошного цилиндра высотой h относительно его оси симметрии

 Расчленим диск на элементы в виде тонких концентрических колец с центрами на оси его симметрии. Полученные кольца имеют внутренний диаметр r и внешний r + dr, а высоту h. Так как dr << r, то можем считать, что расстояние всех точек кольца от оси равно r.
 Для каждого отдельно взятого кольца момент инерции

i = ΣΔmr² = r²ΣΔm,

где ΣΔm − масса всего кольца.
Объем кольца 2πrhdr. Если плотность материала диска ρ, то масса кольца

ρ2πrhdr.

Момент инерции кольца

i = 2πρhr³dr.

 Чтобы подсчитать момент инерции всего диска, надо просуммировать моменты инерции колец от центра диска (r = 0) до края его (r = R), т. е. вычислить интеграл:

I = 2πρh ₀^R∫r³dr,

или

I = (1/2)πρhR⁴.

Но масса диска m = ρπhR², следовательно,

I = (1/2)mR².

 Приведем (без вычисления) моменты инерции для некоторых тел правильной геометрической формы, выполненных из однородных материалов

  1. Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости (или тонкостенного полого цилиндра относительно его оси симметрии):

I = mR².

  2. Момент инерции толстостенного цилиндра относительно оси симметрии:

I = (1/2)m(R₁² − R₂²)

где R₁ − внутренний и R₂ − внешний радиусы.
  3. Момент инерции диска относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров:

I = (1/4)mR².

  4. Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси, перпендикулярной к образующей и проходящей через ее середину:

I = m(R²/4 + h²/12)

где R − радиус основания цилиндра, h − высота цилиндра.
  5. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину:

I = (1/12)ml²,

где l − длина стержня.
  6. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через один из его концов:

I = (1/3)ml²

 7. Момент инерции шара относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров:

I = (2/5)mR².

 Если известен момент инерции какого-либо тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой оси, параллельной первой, может быть найден на основании так называемой теоремы Гюйгенса-Штейнера.
 Момент инерции тела I относительно любой оси равен моменту инерции тела I_с относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс масса тела m, умноженная на квадрат расстояния l между осями:

I = I_c + ml².

 В качестве примера подсчитаем момент инерции шара радиуса R и массой m, подвешенного на нити длиной l, относительно оси, проходящей через точку подвеса О. Масса нити мала по сравнению с массой шара. Так как момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс I_c = (2/5)mR², а расстояние
между осями (l + R), то момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:

I = (2/5)mR² + m(l + R)².

Размерность момента инерции:

[I] = [m] × [r²] = ML².

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы получить возможность отправлять комментарии

 

 

В любой системе частиц имеется одна замечательная точка С - центр инерции, или центр масс, - которая обладает рядом интересных и важных свойств. Центр масс является точкой приложения вектора импульса системы , так как вектор любого импульса является полярным вектором. Положение точки С относительно начала О данной системы отсчета характеризуется радиусом-вектором, определяемым следующей формулой:

 

(4.8)

где - масса и радиус-вектор каждой частицы системы, M - масса всей

системы (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Определение центра масс системы частиц

Следует заметить, что центр масс системы совпадает с ее центром тяжести. Правда, это утверждение справедливо лишь в том случае, когда поле сил тяжести в пределах данной системы можно считать однородным.

Найдем скорость центра масс в данной системе отсчета. Продифференцировав (4.8) по времени, получим

 

(4.9)

Если скорость центра инерции равна нулю, то говорят, что система как целое покоится. Это вполне естественное обобщение понятия покоя отдельной частицы. Скорость же приобретает смысл скорости движения системы как целого.

Из формулы (4.9) с учетом (4.3) следует, что

 

(4.10)

т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Получим уравнение движения центра масс. Понятие центра масс позволяет придать уравнению (4.4) иную форму, которая часто оказывается более удобной. Для этого достаточно (4.10) подставить в (4.4), и учесть, что масса системы как таковой есть величина постоянная. Тогда получим

 

,

(4.11)

где - результирующая всех внешних сил, действующих на систему. Это и есть уравнение движения центра масс системы - одно из важнейших уравнений механики. В соответствии с этим уравнением, при движении любой системы частиц ее центр инерции движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние силы, действующие на систему. При этом ускорение центра инерции совершенно не зависит от точек приложения внешних сил.

Далее, из уравнения (4.11) следует, что если то а значит, . В инерциальной системе отсчета такой случай реализуется для замкнутой системы. Кроме того, если , то, согласно (4.10); и импульс системы .

Таким образом, если центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, то это означает, что ее импульс сохраняется в процессе движения. Разумеется, справедливо и обратное утверждение.

Уравнение (4.11). по форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его естественным обобщением на систему частиц: ускорение системы как целого пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально суммарной массе системы. Напомним, что в неинерциальных системах отсчета результирующая всех внешних сил включает в себя как силы взаимодействия с окружающими телами, так и силы инерции.

Рассмотрим ряд примеров на движение центра масс системы.

Пример 1. Покажем, как можно решить задачу с человеком на плоту (стр. 90)другим способом, воспользовавшись понятием центра масс.

Так как сопротивление воды пренебрежимо мало, то результирующая всех внешних сил, действующих на систему человек - плот, равна нулю. А это значит, что положение центра инерции данной системы в процессе движения человека (и плота) меняться не будет, т. е.

.

где и - радиус-векторы, характеризующие положения центров масс человека и плота относительно некоторой точки берега. Из этого равенства найдем связь между приращениями векторов и

Имея в виду, что приращения и представляют собой перемещения человека и плота относительно берега, найдем перемещение плота:

Пример 2. Человек прыгает с вышки в воду. Движение прыгуна в общем случае имеет весьма сложный характер. Однако если сопротивление воздуха пренебрежимо мало, то можно сразу утверждать, что центр инерции прыгуна движется по параболе, как материальная точка, на которую действует постоянная сила где масса человека.

Пример 3. Замкнутая цепочка, соединенная нитью с концом оси центробежной машины, равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью (рис. 4.4). При этом нить образует угол с

Рис. 4.4. Вращение цепочки вокруг вертикальной оси

вертикалью. Как ведет себя центр инерции цепочки?

Прежде всего, ясно, что при равномерном вращении центр инерции цепочки не движется в вертикальном направлении. Это значит, что вертикальная составляющая силы Т натяжения нити компенсирует силу тяжести (рис. 4.4, справа). Горизонтальная же составляющая силы натяжения постоянна по модулю и все время направлена к оси вращения.

Отсюда следует, что центр масс цепочки - точка С - движется по горизонтальной окружности, радиус которой легко найти с помощью формулы (4.11), записав ее в виде

где - масса цепочки. При этом точка С все время находится между осью вращения и нитью, как показано на рис. 4.4.

В тех часто встречающихся случаях, когда нас интересует лишь относительное движение частиц внутри системы, а не движение этой системы как целого, наиболее целесообразно пользоваться системой отсчета, в которой центр масс покоится. Это позволяет значительно упростить и анализ явления и расчеты.

Систему отсчета, жестко связанную с центром масс данной системы частиц и перемещающуюся поступательно по отношению к инерциальным системам, называют системой центра масс или, кратко, С-системой (обозначение системы связано с первой буквой слова центр по латыни). Отличительной особенностью этой системы является то, что полный импульс системы частиц в ней равен нулю - это непосредственно следует из формулы (4.10). Другими словами, любая система частиц как целое покоится в своей - С-системе.

Для замкнутой системы частиц ее С -система является инерциальной, для незамкнутой - в общем случае неинерциальной.

Найдем связь между значениями механической энергии системы в K и С системах отсчета. Начнем с кинетической энергии системы . Скорость частицы в K -системе можно представить в виде суммы скоростей, где и - скорость этой частицы в С -системе и скорость системы центра масс относительно K -системы отсчета соответственно. Тогда можно записать:

.

Так как в С-системе среднее слагаемое в последней сумме равно 0, то предыдущее выражение примет вид

 

(4.12)

где - суммарная кинетическая энергия частиц в С-системе, масса всей системы обозначена а - ее полный импульс в K-системе отсчета.

Таким образом, кинетическая энергия системы частиц складывается из суммарной кинетической энергии в С-системе и кинетической энергии, связанной с движением системы частиц как целого. Это важный вывод, который неоднократно будет использоваться в дальнейшем изложении.

Из формулы (4.12) следует, что кинетическая энергия системы частиц минимальна в С-системе - в этом еще одна особенность С-системы. Действительно, в С-системе импульс системы равен 0 и поэтому в (4.12) остается только .

Теперь перейдем к полной механической энергии Е. Так как собственная потенциальная энергия системы U зависит только от конфигурации системы, т.е. относительного взаимного расположения частей, то значение U одинаково во всех системах отсчета в соответствии с принципом относительности Галилея. Добавив U в левую и правую части равенства (4.12), получим формулу преобразования полной механической энергии при переходе от К к С-системе:

 

.

(4.13)

Энергию , равную сумме потенциальной энергии и кинетической энергии системы в С-системе называют внутренней механической энергией системы.

Пример. На гладкой горизонтальной плоскости лежат две небольшие шайбы, каждая массы , которые соединены между собой невесомой пружинкой. Одной из шайб сообщили начальную скорость как показано на рис. 4.5. Какова внутренняя механическая энергия этой системы в процессе движения?

Поскольку плоскость гладкая, система в процессе движения будет вести себя как замкнутая. Поэтому ее полная механическая энергия и

Рис. 4.5. Пример на внутреннюю механическую энергию системы

суммарный импульс будут сохраняться, оставаясь равными тем значениям, которые они имели в начальный момент, т. е. . Подставив эти значения в формулу (4.13), получим

Нетрудно сообразить, что внутренняя энергия связана с вращением и колебанием данной системы, причем в начальный момент была равна только энергии вращательного движения.

Если система частиц замкнута и в ней происходят процессы, связанные с изменением полной механической энергии, то из (4.13) следует, что , т. е. приращение полной механической энергии относительно произвольной инерциальной системы отсчета равно приращению внутренней механической энергии. При этом кинетическая энергия, обусловленная движением системы частиц как целого, не меняется, ибо для замкнутой системы полный импульс системы сохраняется .

В частности, если замкнутая система консервативна, то ее полная механическая энергия сохраняется во всех инерциальных системах отсчета. Этот вывод находится в полном соответствии с принципом относительности Галилея.

Рассмотрим простейшую систему из двух частиц. Пусть их массы равны и , а их скорости в K -системе отсчета соответственно равны и . Найдем выражения, определяющие их импульсы и суммарную кинетическую энергию в С -системе.

Импульс первой частицы в С -системе

 

где - скорость центра масс (С -системы) в K -системе отсчета. После подстановки в эту формулу выражения (4.9) для получим

 

где так называемая приведенная масса системы,

 

.

(4.14)

Аналогично, импульс второй частицы в C -системе

 

Таким образом, импульсы обеих частиц в C -системе одинаковы по модулю и противоположны по направлению, причем модуль импульса каждой частицы

 

(4.15)

где - модуль скорости одной частицы относительно другой.

Рассмотрим теперь выражение для кинетической энергии. Суммарная кинетическая энергия обеих частиц в С -системе

 

Так как, согласно (4.14), , то

 

(4.16)

Если частицы взаимодействуют друг с другом, то полная механическая энергия обеих частиц в C -системе записывается в виде

 

(4.17)

где - потенциальная энергия взаимодействия данных частиц.

Выведенные формулы играют большую роль при изучении столкновения частиц, которое часто необходимо в ядерной физике.

Доказательство

Повторим все вышеприведенные предложения; запишем n векторных равенств

(основное уравнение динамики для каждой м.т.) и сложим их.

 

И используются эти уравнения абсолютно точно так же - то есть для решения первой и второй задач динамики. Подробнее о задачах будет сказано дальше. Здесь же отметим, что записанные уравнения называются также диф. уравнениями поступательного движения твердого тела.

Поступательно движущееся тело в механике рассматривается как материальная точка.

Дифференциальные. уравнения поступательно движущегося тела и м.т., естественно, одинаковы.

 

 

При сложном движении твердых тел (в кинематике сложное движение тела рассматривается как результат сложения поступательного движения и вращательного или сферического) вышеприведенные уравнения описывают поступательную часть движения тела.

 

Следствия из теоремы о движении центра масс называют