В замкнутой системе геометрическая сумма импульсов тел остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой

Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса.

Необходимым условием применимости закона сохранения импульса к системе взаимодействующих тел является использование инерциальной системы отсчета.

Нётер теорема

НЁТЕРТЕОРЕМА- утверждает, что для всякой физ. системы, уравнения движения к-рой могут быть получены из вариац. принципа, каждому однопараметрич. непрерывному преобразованию, оставляющему вариац. функционал инвариантным, отвечает один дифференц. сохранения закон, и, главное, позволяет явно выписать сохраняющуюся величину. Установлена в работах учёных гёттингенской школы Д. Гильберта (D. Hilbert), Ф. Клейна (F. Klein) и Э. Нётер (Е. Noether). H. т. - самое универсальное средство, позволяющее находить законы сохранения в лагранжевой классич. механике, теории поля, квантовой теории и т. д.
В классич. механике для системы с действием

(L -Лагранжа функция ,зависящая от обобщённых координат и скоростей инвариантность S относительно образующих группу преобразовании с параметром

Где задающие преобразование ф-ции зависят от совокупности координат и времени] влечёт за собой, согласно Н. т., сохранение во времени величины

В частности, из инвариантности S относительно (1) с т. е. из однородности времени, следует закон сохранения энергии:

В этом случае L не зависит от времени явно. Подобным же образом из инвариантности S по отношению к пространств. сдвигам следует закон сохранения импульса, а из изотропии пространства - закон сохранения трёхмерного момента.
В гамильтоновом описании, т. е. когда Q выражены через канонические переменные - обобщённые координаты и импульсы (для простоты считаем, что явные зависимости от времени отсутствуют): 1) Пуассона скобка Q с гамильтонианом и равна нулю, 2) изменение любой динамич. переменной F при преобразовании (1) определяется её скобкой Пуассона с Q. В этом контексте утверждение Н. т. становится как бы тривиальным, следующим из одной лишь антисимметрии скобок Пуассона:

Если преобразования симметрии образуют не однопараметрич. группу, то между QA должны выполняться соотношения в скобках Пуассона, воспроизводящиеЛи алгебругенераторов соответствующей группы. Так, напр., три компоненты момента должны удовлетворять соотношению в скобках Пуассона

(где -Леви - Чивиты символ ), воспроизводящему алгебру Ли группы трёхмерных вращений 0(3).
Особо важное значение Н. т. приобретает в квантовой теории поля (КТП), где вытекающие из наличия группы симметрии законы сохранения часто оказываются единств. источником информации о свойствах системы. Для формального вывода Н. т. в (классич. или квантовой) теории поля рассматривают интеграл действия:

где -лагранжиан ,зависящий от ф-ций поля , их первых производных по всем четырём координатам и, возможно, от координат - точка пространства-времени; индекс а нумерует компоненты поля; принята система отсчёта, в к-рой Тогда Н. т. утверждает, что из инвариантности действия (2) относительно преобразований с параметрами

для произвольной области интегрирования R вытекает дпфференц. закон сохранения:

где т. н. нётеров ток вычисляется из лагранжиана по правилу:

где

Символ Кронекера; по повторяющемуся индексу предполагается суммирование). Интегрируя (3) по произвольному 4-объёму и используяГаусса теорему, получаем, что полный 4-поток вектора через ограничивающую этот объём гиперповерхность равен нулю. Выбирая гиперповерхность в виде цилиндра с пространственноподобными основаниями, такого, что потоком через боковые стенки можно пренебречь, приходим к утверждению, что направленные в будущее потоки вектора через нижнее и верхнее основания равны. Отсюда следует, что нётеровы заряды

во-первых, сохраняются во времени (интегральная форма Н. т.), во-вторых, преобразуются при Лоренца преобразованиях контравариантно соответствующим параметрам
Из физ. представлений об однородности и изотропии пространства-времени следует, что для любой замкнутой системы действие должно быть инвариантно относительно преобразований Пуанкаре группы, что в силу Н. т. приводит к существованию 10 фундаментальных сохраняющихся величин: энергии, трёх компонент импульса и 6 компонент 4-момента. Сохранение энергии и импульса следует из инвариантности относительно трансляций . При этом , , нётеровы токи исчерпываются выражением (5) и образуют тензор энергии-импульса. Сохраняющиеся "заряды" суть компоненты 4-импульса:

Из инвариантности относительно трёх пространств. поворотов и трёх преобразований Лоренца