Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету магнитного поля

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж.Био (1774-1862) и Ф.Саваром (1791-1841). Результаты этих опытов было обобщены выдающимся французским математиком и физиком П.Лапласом.

Закон Био-Савара-Лапласа для проводника с током I, элемент длины которого создает в некоторой точке А индукцию поля записывается в виде

. (2.1.)

Направление перпендикулярно и , т.е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Поскольку направление можно определить по правилу правого винта, то для модуля dB запишем формулу

, (2.2)

где a - угол между векторами и .

Рис.4. К закону Био-Савара-Лапласа.

Для магнитного поля, также как и для электрического справедлив принцип суперпозиции: если имеется несколько элементов тока или несколько контуров с током, каждый из которых создает магнитное поле, то при одновременном действии всех токов индукция результирующего поля равна векторной сумме отдельных полей: или в случае элементарных токов

, (2.3)

где магнитная индукция поля, создаваемого элементом интегрирования длиной . Интегрирование производится по всей длине проводника .

Расчет характеристик магнитного поля ( и ) по формулам (2.1-2.2) в общем случае сложен. Однако, если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био-Савара-Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет рассчитать конкретные примеры.

1. Магнитное поле отрезка прямого провода с током. Вычислим индукцию магнитного поля, создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током I, в точке С, расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии а (рис.5). Индукция магнитного поля в точке С будет равна

. (2.4)

Рис.5.

Но , тогда и . Подставив эти значения в (2.4), получим

(2.5)

2. Магнитное поле бесконечно длинного прямого провода с током. Для такого провода угол a₁ = 0, а угол a₂ = 180^о. Тогда

, (2.6)

где a – длина перпендикуляра, опущенного из точки наблюдения С на проводник с током.

3. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис.6). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитное поле одинакового направления – вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sina = 1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, по закону Био- Савара-Лапласа,

Рис.6.

Тогда

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током равна

. (2.7)

4. Определить индукцию магнитного поля на оси кругового тока радиусом R, в точке А на расстоянии а от плоскости контура, по которому течет ток силой I (рис.7).

Воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа

,

где магнитная индукция, создаваемая элементом тока в точке, определяемой радиусом-вектором . Выделим на кольце элемент и от него в точку А проведем радиус-вектор . Направление вектора определим по правилу правого винта. Согласно принципу суперпозиции, магнитная индукция в точке А определяется интегрированием , где интегрирование ведется по всем элементам Рис.7. кольца. Разложим вектор на две составляющие: перпендикулярную плоскости кольца и , параллельную плоскости кольца, т.е. . Тогда . Заметим, что из соображений симметрии и что векторы от различных элементов сонаправлены. Поэтому заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным , где и , поскольку перпендикулярен и, следовательно, sina =1 (r ² =R² + a²).

Таким образом,

Или, окончательно,

. (2.8)