Определение коэффициента готовности НКИ.

 

Процесс эксплуатации НКИ можно представить как чередование периодов исправного и неисправного состояний (рис. 4.5, где А — нерабочее состояние, комплекс исправен; В — рабочее состояние, комплекс исправен; С — нерабочее состояние, неисправность не выяснена; D — состояние восстановления).

Переходы из одного состоянии в другое характеризуются следующими интенсивностями:

 — средняя (отнесенная к сроку эксплуатации) интенсивность назначений на работу;

— средняя интенсивность выполнения работы (величина, обратная средней продолжительности одного периода работы)

 — средняя интенсивность возникновения отказов в нерабочем состоянии;

 — средняя интенсивность работ по обнаружению неисправностей (внешние осмотры и другие виды контроля, не связанные с наработкой комплекса);

 — средняя интенсивность возникновения отказов в рабочем состоянии;

— средняяинтенсивностьвосстановления.

 

Функционирование комплекса происходит следующим образом. Из состояния А комплекс может перейти либо в состояние В, либо в С. Назначение комплекса на работу соответствует переходу в В и идет с интенсивностью . После работы исправный комплекс переходит в состояние А. Если во время работы происходит отказ, то комплекс с интенсивностью  переходит в состояние D. Беля отказ возник в состоянии А, то комплекс переходит в состояние С с интенсивностью , а восстановление идет с интенсивностью . После восстановления — переход в А, назначение же на работу из состояния С происходит с интенсивностью .

Необходимо отметить, что в состоянии С могут возникать неисправности с той же интенсивностью, что и в состоянии А. Однако возникновение этих новых неисправностей не означает перехода в другое состояние: комплекс продолжает оставаться в состоянии С до тех пор, пока не будет установлено, что он неисправен.

Возникновение в нерабочий период двух и более неисправностей отражается на затратах времени на восстановление. Как правило, межрегламентный период эксплуатации меньше среднего времени нахождения в исправном состоянии, когда комплекс не работает. Поэтому вероятность возникновения более одной неисправности в период между работами можно считать малой.

В произвольный момент времени комплекс может находиться только в одном состоянии. Определим вероятности пребывания комплекса в каждом состоянии.

Будем считать, что потоки переходов с интенсивностями  являются стационарными пуассоновскими, а процесс функционирования комплекса в этом случае можно считать марковским.

Стационарным потоком событий называется поток, для которого вероятность появления того или другого числа событий на участке времени  зависит лишь от длины этого участка и не зависит от того, где по оси времени взят этот участок.

Пуассоновский поток — это поток, обладающий свойствами ординарности и отсутствия последействия.

Поток событий называется ординарным, если вероятность того, что на малый участок Δt, примыкающий к моменту времени t, падает больше одного события, пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью того, что на этот же интервал времени попадает ровно одно событие.

Отсутствие последействия заключается в том, что для любых пересекающихся участков и  число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой.

Процесс называется марковским, если состояние системы Xi в некоторый момент времени определяет лишь вероятность Pij(t) того, что через промежуток времени t система будет находиться в состоянии Xj, причем эта вероятность не зависит от течения процесса в предшествующий период.

Вероятность нахождения комплекса в каком-либо из состояний (А, В, С, D) обозначим PA(t), PB(t), Pc(t), PD(t). Составим уравнения, описывающие этот процесс.

Если вероятность нахождения комплекса в состоянии А была PA(t), то в момент времени (t + Δt) вероятность нахождения комплекса в состоянии APA(t + Δt) будет определяться следующим образом:

 

а) вероятность того, что в момент t комплекс находился в состоянии А и за время Δt не перешел ни в какое другое состояние, будет

;                              (4.47)

б)    вероятность того, что в момент времени t комплекс находился в состоянии B и за время Δt перешел в состояние А, определяется выражением

(4.48)

в)    вероятность того, что в момент времени t комплекс находился в состоянии D и за время Δt перешел в состояние А, находится так:

(4.49)

г)    вероятность перехода комплекса из состояния С в состояние А равна нулю.

Поскольку вероятность того, что за малый промежуток времени произойдет больше одного события, пренебрежимо мала (поток событий ординарный), то вероятность нахождения комплекса в момент времени (t+Δt) в состоянии А определяется по теореме сложения вероятностей:

(4.50)

Отбрасывая величины второго порядка малости и деля на Δt, а также учитывая, что , получаем

. (4.51)

Аналогично получаются уравнения для других состояний:

(4.52)

Для нахождения коэффициента готовности достаточно иметь стационарное решение, т. е. найти предельные вероятности состояний при достаточно большомt. Так как при то стационарная система уравнений имеет вид

 

                            (4.53)

 

Последнее уравнение необходимо добавить потому, что вероятности РА, РB,, РC, и, PD составляют полную систему событий. Решаяэтусистему, получаем

 

           (4.54)

 

где

 

Вероятность исправного состояния комплекса систем наземного обеспечения в произвольный момент времени (коэффициент готовности) определяется формулой КГ = РА+РB:

.            (4.55)

 

Возможнынекоторыечастныеслучаи:

 

а) случай, когда по условию эксплуатации можно пренебречь интенсивностью или вероятностью возникновения неисправностей в нерабочий период, т.е. пребывания комплекса в состоянии С невозможно, тогда  и

;                                  (4.56)

б)    случай нерабочего периода, когда для выявления неисправностей проводятся кратковременные проверки, не связанные с наработкой комплекса, т. е. состояние В отсутствует, тогда  и

                                     (4.57)

в)    случай характерен для комплексов, находящихся длительное время в рабочем состоянии, и готовность в этом случае

                          (4.58)