Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимость ряда. Теорема о связи между абсолютной сходимостью и сходимостью ряда.

Лекция 7

Тема: Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимость ряда. Теорема о связи между абсолютной сходимостью и сходимостью ряда.

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

Определение 1. Ряды вида , либо  называются знакочередующимися рядами.

Примерами знакочередующихся рядов являются:

 - знакочередующийся гармонический ряд,

   - знакочередующийся ряд Дирихле.

Теорема 1. (Теорема Лейбница)

Пусть в знакочередующемся ряде члены ряда по модулю не возрастают, т.е:

Для того, чтобы знакочередующийся ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы предел общего члена равнялся нулю, т.е.

Доказательство. Рассмотрим для определенности ряд . Необходимость. Дано: Ряд  сходится. Требуется доказать, что предел общего члена равен нулю.

Справедливость этого утверждения вытекает из необходимого признака сходимости ряда.

Достаточность. Дано: . Требуется доказать, что ряд сходится.

Сначала докажем сходимость последовательности частичных сумм с четными номерами

Имеем:

S₂ ≤S₄ ≤S₆ ≤…. ≤S_2n ≤….,

т.е. последовательность {S_2n}^∞ не убывает.

S_2n запишем в следующем виде:

 

Последовательность {S_2n} не убывающая и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел:

Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм ряда с нечётными номерами {S_2n+1} и найдём предел этой последовательности.

, т.к.  по условию. Отсюда следует, что  . Теорема Лейбница справедлива для рядов   т.к. данный ряд получается из ряда  умножением на (-1), что не меняет сходимости ряда. Для ряда  справедливо равенство: |S|<|a₁|.

Оценка суммы знакочередующегося ряда

Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то ряд сходится и его суммы удовлетворяет неравенству:

 

|S|<| ₁|.

Пример 1. Вычислить сумму ряда c точностью ε=0.01

Решение. Во-первых, докажем, что данный ряд сходится. В самом деле, ряд   является знакочередующимся рядом, члены которого по модулю не возрастают  и .

По теореме Лейбница данный ряд сходится к некоторому числу S

Ошибка, которая при этом допущена, равна . R_n называется остатком ряда. Остаток ряда R_n является знакочередующимся рядом, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Следовательно, | R_n|  . Если  < 0.01, то и | R_n|<0.01. n+1>100, n>99.

Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимость ряда. Теорема о связи между абсолютной сходимостью и сходимостью ряда.

Определение 2. Ряд  называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т.е. если сходится ряд .

Определение 3. Ряд  называется условно сходящимся, если данный ряд сходится,а ряд из модулей членов данного ряда расходится.

Например, ряд  абсолютно сходится, а ряд  - условно сходится.

Теорема 2. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> , который будет знакоположительным рядом и к нему можно применить теорему сравнения. Имеем:

Так как ряд Дирихле сходится, то сходится ряд r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> . Следовательно, данный ряд сходится абсолютно, а по теореме 2 можно утверждать, что он сходится.